应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计14.doc

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1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M2-3无穷小与无穷大的概念及性质知识目标了解掌握无穷小，无穷大的概念及无穷小的比较技能目标掌握无穷小与无穷大的关系；会进行无穷小的比较；会利用等价无穷小求相关的极限。态度目标正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想教学重点无穷小的比较教学难点无穷小的比较，灵活运用6种求函数极限的方法教学资源无参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时

2、间课程引入复习当时函数f(x)的极限启发式5’知识讲解1、无穷小的定义及其性质2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系3、无穷小的比较4、极限的运算启发式55’课堂实战灵活运用求函数极限的方法求函数的极限25’课后点评无穷小与无穷大总结求函数极限的方法5’课后小记5一、课程引入在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量．例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋于零．又如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零．对于这样的变量，我们称之为无穷小量

3、．二、知识讲解1、无穷小的定义及其性质定义8如果当（或）时，函数的极限为零，那末函数叫做当（或）时的无穷小量，简称为无穷小．例如，因为，所以函数是当时的无穷小；应当注意：（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势；（2）无穷小是一个函数，而不是一个绝对值很小的数；（3）常数中只有“0”可以看成是无穷小，因为性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小；性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小；性质3有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系1）无穷大量的定义定义9如果当（或）时，函数的绝对

4、值无限增大，那末函数叫做当（或）时的无穷大量，简称为无穷大．例如，当时，是一个无穷大，又如，当时，是一个无穷大．应当注意：（1）无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数；（2）说一个函数是一个无穷大，必须指明自变量的变化趋势．2）无穷大与无穷小有以下的简单联系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则是无穷小；反之，如果为无穷小，且，则是无穷大．利用这个关系，可以求一些函数的极限．例1求．解因为，所以．53、无穷大及无穷小的比较定义10设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又也是在这个变化过程中的极

5、限．（1）如果=0，就说是比高阶的无穷小，记作；（2）如果，就说是比低阶的无穷小；（3）如果=，就说与是同阶无穷小，特殊地，若，则说与是等价无穷小，记为~．注意:在无穷小的比较中,自变量的变化趋势必需一致,否则无法比较!例如，在x→0时，x2是比3x高阶的无穷小；3x是比x2低阶的无穷小，sinx与3x是同阶无穷小，sinx与x是等价无穷小．当x→0时，常用的等价无穷小有sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；ln(1+x)~x；ex–1~x；~；~．例2比较当时，无穷小与阶数的高低

6、．解因为=，所以~．例3求极限及．解当时，~，~，所以=；当时，~，所以==4、极限的运算5例4求．解略例5求．解例6求．解因为，所以=．由例题可以看出，当是非负整数时，对于有理分式函数的极限，有下面的结论：三、课堂实战1、求下列各极限：（1）；（2）；（3）；（4）；2．当x→0时，2x–x2与x2–x3相比，哪一个是高阶无穷小？4．当x→1时，无穷小1–x和（1）；（2）是否同阶？是否等价？3．计算下列各极限：（1）；（2）；5（3）；（4）；5