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《数学物理方法姚端正CH7作业解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数理方法CH7作业解答P119：习题7.11．确定下列初值问题的解2（1）u-au=0，u(x,0)=0，u(x,0)=1ttxxt解：由D'Alembert公式，该问题的解为：1x+at1u(x,t)=ò1×da=[x+at-(x-at)]=t2ax-at2a23（3）u-au=0，u(x,0)=x，u(x,0)=xttxxt解：由D'Alembert公式，该问题的解为：1331x+at322u(x,t)=[(x+at)+(x-at)]+òada=x+3atx+tx22ax-at2.求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为j(x)，初始速度为-aj'(x)解：由题意，该问题的定
2、解问题为：2u-au=0，u(x,0)=0，u(x,0)=-aj'(x)ttxxt2方程u-au=0的通解为：u(x,t)=f(x+at)+f(x-at)ttxx12将初始条件代入通解中，得到：f(x)+f(x)=j(x)①12af'(x)-af'(x)=-aj'(x)即f(x)-f(x)=-j(x)②1212①②联立解得：ìf1(x)=0íîf2(x)=j(x)所以，该问题的特解为：u(x,t)=f(x+at)+f(x-at)=j(x-at)123.求解弦振动方程的古沙问题ìutt=uxx①ïíu(x,-x)=j(x),-¥3、解：方程u=u的通解为：u(x,t)=f(x+t)+f(x-t)④ttxx12将④式代入定解条件②得：f(0)+f(2x)=j(x)⑤121将④式代入定解条件③得：f(2x)+f(0)=y(x)⑥12y记2x=y，则⑤⑥两式记为：f(0)+f(y)=j()⑦122yf(y)+f(0)=y()⑧122y由⑦⑧两式解得：f(y)=y()-f(0)⑨122yf(y)=j()-f(0)⑩212x+tx-t所以u(x,t)=f(x+t)+f(x-t)=y()+j()-[f(0)+f(0)]122122在⑨式中，令y=0，得f(0)=y(0)-f(0)，则得f(0)+f(0)=y(0)12
4、12x+tx-t所以，u(x,t)=f(x+t)+f(x-t)=y()+j()-y(0)1222{或者，在⑩式中，令y=0，得f(0)=j(0)-f(0)，则得f(0)+f(0)=j(0)2112x+tx-t所以结果也可写为：u(x,t)=y()+j()-j(0)}22P124：1．求解定解问题：2ìu-au=x+atttxxï（1）íu(x,0)=0ïu(x,0)=0ît解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题：2ìv-av=0ttxxïív(x,t)=0ïv(x,t)=x+atît由D'Alembert公式，该问题的解为：1x+a(t-t)2v(x,t;t)=ò(a+
5、at)da=xt-at-xt+att2ax-a(t-t)则由叠加原理，原定解问题的解为：tt21312u(x,t)=òv(x,t;t)dt=ò(xt-at-xt+att)dt=at+xt00622ìuxx-uyy=8ï（2）íu(x,0)=0ïu(x,0)=0îy解：由冲量原理，原定解问题可转化为以下定解问题：ìvyy-vxx=0ïív(x,t)=0ïv(x,t)=-8îy由D'Alembert公式，该问题的解为：1x+a(y-t)v(x,y;t)=ò-8da=8t-8y2x-a(y-t)则由叠加原理，原定解问题的解为：yy2u(x,y)=òv(x,y;t)dt=ò(8t-8y
6、)dt=-4y002．求解下列定解问题：ìutt=uxx+tsinxï（1）íu(x,0)=0ïu(x,0)=sinxîtIII解：令u=u+uIIIIIIìutt=uxxìutt=uxx+tsinxïïIIIíu(x,0)=0íu(x,0)=0ïIïIIut(x,0)=sinxut(x,0)=0îî由D'Alembert公式，1x+tIu=òsinada=sinxsint2x-t由无界纯强迫振动解的公式，得II1tx+(t-t)1tu=ò0òx-(t-t)tsinadadt=ò0{cos[x-(t-t)]-cos[x+(t-t)]}tdt22tt=òsinxsin(t-t)t
7、dt=sinxòsin(t-t)tdt=tsinx-sinxsint00（上式最后一步用了分部积分法）III则u=u+u=tsinx32ìu-au=xttxxï（3）íu(x,0)=0ïu(x,0)=3îtIII解：令u=u+uI2III2IIìutt-auxx=0ìutt-auxx=xïïIIIíu(x,0)=0íu(x,0)=0ïIïIIut(x,0)=3ut(x,0)=0îî由D'Alembert公式，1x+atIu=ò3da=3t2ax-at由无界纯强迫振动解的公式，得II1tx+a
