数学物理方法姚端正CH1作业解答

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1、数学物理方法CH1作业题解答P6习题1.11.用复变量表示：（1）上半平面；（2）左半平面解：（1）上半平面为：Imz>0（2）左半平面为Rez<04.求下列复数的实部、虚部、模与辐角主值-3（3）(3+i)pi(+2kp)解：先将z=3+i记为指数形式，z=3+i=2e6ppp-3-3-i3(+2kp)1-i(+6kp)1-i1则z=2e6=e2=e2=-i88811p其实部为0，虚部为-，模为，辐角主值为-8826.计算下列数值：5（2）(3-i)pi(-+2kp)解：先将z=3-i记为指数形式，z=3-i=2e6，则p5p5p55i5(-+2kp)i(

2、-+10kp)-i5p5pz=2e6=32e6=32e6=32[cos(-)+isin(-)]=-16(3+i)667.求解方程3(1)z-1=0ì0ïe=1ïìk=02kp2p333i2kpiïi13ï解：z=1，则z=1=e=e3=e3=-+i分别对应k=1ííï22ï4pîk=2ïi13e3=--iïî223+i8.设流体在点z=1+2i的流速为v=，求其大小和方向.2-i解：即求其模及辐角主值：13+i(3+i)(2+i)5+5ipv====1+i，其模为2，其辐角主值为argv=2-i554P9习题1.22.画出下列关系所表示的z点的轨迹的图形并确

3、定它是不是区域。（1）Imz>1且

4、z

5、<2如图示阴影部分，不含边界线。满足区域的两个条件：（1）全由内点组成；（2）点集中任意两点可用全在点集中的折线连接；所以是区域。P15习题1.32.讨论下列函数的可微性和解析性2（1）w=z解：记z=x+iy，w=u(x,y)+iv(x,y)；222则w=z=(x-y)+i2xy22w的实部u=x-y，虚部v=2xy¶u¶u¶v¶v=2x，=-2y，=2y，=2x¶x¶y¶x¶y可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，且满足C-R条件，2所以，w=z在复平面可微，从而在复平面是解析的。（2）w=zRez解：记z=x+

6、iy，w=u(x,y)+iv(x,y)；2则w=zRez=x+ixy2w的实部u=x，虚部v=xy2¶u¶u¶v¶v=2x，=0，=y，=x¶x¶y¶x¶y可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，但仅在z=0点满足C-R条件，所以，它仅在z=0点是可微的，但是在z=0点并不解析（因为在z=0点的邻域并不满足C-R条件）；并且在全平面均是不解析的。3.已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。22（1）u=x-y+xy，f(i)=-1+i解：采用不定积分法：¶vv=òdx+g(y)①¶x¶v¶u而由C-R条件，=-=2y-x②¶x¶y12所以v=ò(2y-x)dx

7、+g(y)=2xy-x+g(y)③2再将v对y求偏导：¶v¶u一方面，由C-R条件，==2x+y，④¶y¶x¶vdg另一方面，由③式得：=2x+⑤¶ydydg12由④⑤两式得=y所以g=y+cdy21212所以v=2xy-x+y+c⑥221再由已知f(i)=-1+i，即当x=0,y=1时，v=1，代入⑥式得c=212121所以，v=2xy-x+y+⑦2222212121121则f(z)=x-y+xy+i(2xy-x+y+)=(1-i)z+i⑧22222（2）u=2(x-1)y，f(2)=-i3解：采用不定积分法：¶vv=òdx+g(y)①¶x¶v¶u而由C-

8、R条件，=-=-2x+2②¶x¶y2所以v=ò(2-2x)dx+g(y)=2x-x+g(y)③再将v对y求偏导：¶v¶u一方面，由C-R条件，==2y，④¶y¶x¶vdg另一方面，由③式得：=⑤¶ydydg2由④⑤两式得=2y所以g=y+cdy22所以v=2x-x+y+c⑥再由已知f(2)=-i，即当x=2,y=0时，v=-1，代入⑥式得c=-122所以，v=2x-x+y-1⑦222则f(z)=2(x-1)y+i(2x-x+y-1)=-i(1-z)⑧P22习题1.4z6.（2）解方程：e=1+i3pi(+2kp)解：先将ez写成指数的形式：ez=2e3ppi

9、(+2kp)i(+2kp)p则z=Ln[2e3]=ln2+Lne3=ln2+i(+2kp)(k=0,±1,±2...)37．判断下列函数是单值的还是多值的，若是多值的，是几值？其支点是什么？cosz（1）z+z-1（6）z4解：（1）因为z是单值函数，而z-1是2值的，支点是1，¥所以，函数z+z+1是2值的，支点是1，¥argz+2kpi（6）z=

10、z

11、e2，记它的两个单值分支为argzìiw=

12、z

13、e2ï1íargzargzïi(+p)iw=

14、z

15、e2=-

16、z

17、e2=-wî21ìcosw1coszïïw1则=ízïcosw2=cos(-w1)=cos(w

18、1)ïîw2-w1-w1cosz所以，是2值的函数，