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《数学物理方法姚端正CH9作业解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数理方法CH9作业题解答P170.习题9.12.求下列函数的Fourier变换2-hx（2）eh>02¥2¥2¥2-hx-hx-iwx-hx-hx解：F[e]=ò-¥eedx=ò-¥e(coswx-isinwx)dx=ò-¥ecoswxdx（上式虚部被积函数是奇函数，积分结果为零，故只剩实部）2w2b¥-ax2-p-p根据教材P91积分公式òecosbxdx=e4a，上式积分结果为：e4h-¥ah22(3)sinhx,coshx,h>02ihx2222解：F[e]=F[coshx+isinhx]=F[coshx]+iF[sinhx]ww2iw2i
2、w2wih(x2-x+)-2ihx2¥ihx2-iwx¥h4h24h1-4h¥ih(x-2h)w而F[e]=òeedx=òedx=×eòedh(x-)-¥-¥h-¥2h2iwwihx21-4h¥ix2记x=h(x-)，上式为：F[e]=×eòedx2hh-¥22iwpwp¥ipp-ip-i(-)ix2ihx24h44h4由教材P90积分公式òedx=pe4，得F[e]=ee=e-¥hh比较上式两边的实部和虚部，得到：22pwpF[coshx]=cos(-)h4h422pwpF[sinhx]=-sin(-)h4h4222v222v7.设r=x+y+
3、z=r，w=w+w+w=w，证明12314p1-mr4p（1）F[]=；（2）F[e]=(m>0)222rwrw+m证明：（1）可从右边推得左边。-14p1¥4piwv×rvv4p¥2pp1iwrcosq2F[]=edw=ewsinqdqdjdww2(2p)3òòò-¥w2(2p)3ò0òò00w2iwr-iwr1¥1iwrx1¥e-e2¥sinwr2p1=òò0-1edxdw=ò0dw=ò0dw=×=ppiwrpwrpr2r1¥sinxp（其中记cosq=x，倒数第2步用了教材P90的积分公式：òdx=）0x2证明：（2）可从左边推至右边。1-
4、mr¥1-mr-iwv×rvv¥2pp1-mr-iwrcosq2F[e]=òòò-¥eedr=ò0òò00eersinqdqdjdr记cosq=x，rrr则-iwriwr1-mr¥11-mr-iwrx2¥1-iwrx1-mr2¥e-e-mrF[e]=2pòò0-1eerdxdr=2pòò0(-1edx)erdr=2pò0erdrrrr-iwr4p¥-mr4pw4p=esinwrdr=×=wò0wm2+w2m2+w2（上式最后一步积分由连续两次应用分部积分法即可求得）P175习题9.226.求解热传导方程u=au(-¥0)的初值问题，
5、已知txx2（1）u(x,0)=sinx（2）u(x,0)=x+1（1）解：定解问题为：2ìu=au(-¥0)............1txxíîu(x,0)=sinx..............................................2对定解问题1~2式中各项以x为变量进行Fourier变换，记¥-iwx~F[u(x,t)]=òu(x,t)edx=u(w,t)-¥¥-iwx~F[sinx]=òsinxedx=j(w)-¥则1~2式化为~ìdu(w,t)22~ï+awu(w,t)=0.............
6、.....3ídtïîu~(w,0)=j~(w)....................................4满足初始条件4式的方程3的解为：22~~-awtu(w,t)=j(w)e............................5下面求5式的逆变换，2222-1~-1~-awt-1-awtu(x,t)=F[u(w,t)]=F[j(w)e]=sinx*F[e]...........6-1-a2w2t1¥-a2w2tiwx1¥-a2tw2F[e]=òeedw=òecoswxdw2p-¥p02b¥-ax21-p由教材P91积分公式
7、òecosbxdx=e4a，上式积分结果为：02a222xx--a2w2t11-2p1-2F1[e]=e4at=e4at2p2at2apt代入6式，并代入卷积定义式，得2x--2w21¥-2u(x,t)=sinx*F1[eat]=e4atsin(x-x)dxò2apt-¥2x1¥-2=òe4at(sinxcosx-cosxsinx)dx2apt-¥22xx1¥-21¥-2=òe4atsinxcosxdx=sinxòe4atcosxdx2apt-¥2apt-¥2b¥-ax21-p再一次应用教材P91积分公式òecosbxdx=e4a，上式积分结果为
8、：02a121-×4at2-a2tu(x,t)=sinxe4p×4at=esinx2apt（2）解：定解问题为：2ìïut=auxx(-
