数学物理方法习题解答(完整版).pdf

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1、数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Rez在z平面上处处不可导。证明：令Rezuiv。Rezx，uxv,0。uvuv1，0，。xyxy于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，所以Rez在z平面上处处不可导。2、试证2fzz仅在原点有导数。22222证明：令fzuiv。fzzxyuxyv,0。uuvv2,x2y。。xyxyuuvv所以除原点以外，uv,不满足C－R

2、条件。而,,在原点xyxy连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。uvvuf0ii0。xxx0yyx0y0y02z*或：f0limlimzlimxiy0。z0zz0x0y022***zzzzzzzz*z0limlimlim(zz)0。z0zz0zz0z*z*z*izi2【当z0,zre，e与趋向有关

3、，则上式中1】zzz13333xyix(y)z0223、设fz()xy，证明fz在原点满足C－R条件，但不z=00可微。证明：令fzuxy,ivxy,，则33xy22xy022uxy,xy，22xy=0033xy22xy022vxy(,)xy。22xy=003ux(,0)u(0,0)xu(0,0)limlim1，x3x0xx0x3u(0,)yu(0,0)yu(0,0)limlim1；y3y0yx0

4、y3vx(,0)v(0,0)xv(0,0)limlim1，x3x0xx0x3v(0,)yv(0,0)yv(0,0)limlim1。y3y0yx0yu(0,0)v(0,0),u(0,0)v(0,0)xyyxfz()在原点上满足C－R条件。3333fz()f(0)xyix(y)但limlim。22z0zz0(xy)(xiy)令y沿ykx趋于0，则3333334343xyix(y)1ki(1k)kkk1ik(kk1)lim22222z

5、0(xy)(xiy)(1k)(1ik)(k1)依赖于k，fz()在原点不可导。4、若复变函数fz在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上2必为常数。（1）fz在区域D上为实函数；（2）*fz在区域D上解析；（3）Refz在区域D上是常数。证明：（1）令fz()uxy(,)ivxy(,)。由于fz在区域D上为实函数，所以在区域D上vxy(,)0。fz()在区域D上解析。由C－R条件得uvuv0，0。xyyx在区域D上uxy(,)为常数。从而fz

6、在区域D上为常数。*（2）令fz()uxy(,)ivxy(,)，则f()zuxy(,)ivxy(,)。fz()在区域D上解析。由C－R条件得uvuv,。（1）xyyx*又f()z在区域D上解析，由C－R条件得uvuv,。（2）xyyx联立（1）和（2），得uuvv0。xyxyuv,在区域D上均为常数，从而fz()在区域D上为常数。（3）令fzuxy,ivxy,，则Re()fzuxy,。uu由题设知uxy

7、,在区域D上为常数，0。xy3又由C－R条件得，在区域D上vuvu0,0，于是v在区域D上为常数。xyyxuv,在区域D上均为常数，从而在区域D上fz()为常数。25、证明xy不能成为z的一个解析函数的实部。222uu证明：令uxy，02x2x。22xyu不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z的一个解析函数的实部。6、若zxiy，试证：（1）sinzsincoshxyicossinhxy；（2）coszcoscoshxyisinsinhxy；22

8、2（3）sinz＝sinxsinhy；222（4）coszcosxsinhy。证明：（1）sinzsin(xiy)sincos()cossin()xiyxiycos()iycoshy,sin()iyisinhy，sinzsincoshxyicossinhxy。（2）cosz