数学物理方法+吴崇试+课后习题解答.pdf

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1、1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：ixsiniz（1）13+i；（2）1cos−+αisinα，02≤α<π；（3）e，x为实数；（4）e；z41+i1+iixϕ()（5）e；（6）−1；（7）1+i；（8）；（9）e；（10）e，ϕ()x是实变数x1−i的实函数。22⎛⎞Imπ（1）Re1=，Im=3，Am=Re+Im=2，Arg=arctan⎜⎟+=+2kkπ2π；⎝⎠Re322α（2）Re1cos=−α，Im=sinα，Am=()1cos−+=ααsin22cos−=α2sin，2αα2sincossinα22απ−αtanArg()===cot，所以

2、Arg=k+2π；1cos−α2α222sin2（3）Am1=，Arg=xksin+2π，Re=cossin(x)，Im=sinsin(x)；iz−+yix−y−y−y（4）zxi=+y，ee=，Am=e，Arg=x+2kπ，Re=excos，Im=exsin；xxx（5）Am=e，Arg=y+2kπ，Re=eycos，Im=eysin；121n+4−=⎡⎤in()ππ+24=i4π21n+（6）1ee，(n=0，1，2，3)，Am1=，Arg=kπ+2π，⎣⎦4⎛⎞21n+⎛⎞21n+Re=cos⎜⎟π，Im=sin⎜⎟π；⎝⎠4⎝⎠4⎛⎞ππ⎛⎞in⎜⎟++2

3、2πin⎜⎟ππ（7）12+=ie44⎝⎠48=2e⎝⎠，(n=0，1)，Am=42，Arg=nk++π2π，844⎛⎞πnπn4πRe=+2cos⎜⎟nπ=()−12cos，Im=−()12sin；⎝⎠8881in()ππ42+2ππ22+n⎛⎞π12+ie⎡⎤i2in⎜⎟4+ππ⎝⎠（8）==⎢⎥ee=，(n=0，1)，Am1=，Arg=nk++π2π，−iπ41−i⎣⎦2e4nn()−1()−1Re=，Im=；22（9）Am=e，Arg12=+kπ，Re=ecos1，Im=esin1；（10）Am1=，Arg=xkϕ()+2π，Re=cos⎡⎣ϕ(x)⎤⎦，

4、Im=sin⎡⎣ϕ(x)⎤⎦；2．把下列关系用几何图形表示出来：1（1）z<2，z=2，z>2；（2）Rez>，1Im2−；（9）zz+Re<1；（10）⎛⎞zi−π0arg<<

5、⎜⎟。⎝⎠zi+4（1）（2）（3）arg1()(−=zxarg1−−=iy)0⇔10−x>且y=0，即x<1，y=0；πarg1()(+=zxarg1++=⇔+>iyx)10且yx=31(+)；3πarg()zi+−=1arg⎡⎤⎣⎦xi++1(y−=⇔+=1)x10且y−10>。2π（4）0<−arg1()zx=−arg1⎡⎤⎣⎦()−

6、7）（8）2212（9）zzxyx+=++Re<1，化简得x<−()1y。222zi−+xiy+−(1)xy−12−ix⎛⎞zi−π（10）==，所以0arg<⎜⎟<⇔22zixiy+++()1xy++()1⎝⎠zi+4222202<−xxy<+−1，即x<0且()xy+12+>。113．已知一复数z，画出iz，−z，z，，，并指出它们之间的几何关系。zziϕi(ϕπ+2)i(ϕ+π)把z写成ρe，则iz=ρe，即把z逆时针旋转90度。−=zeρ，即把z逆时针−iϕ11iϕ旋转180度。ze=ρ，即z关于实轴的对称点。=e，即z关于单位圆的对称点。zρ11−iϕ=

7、e，即z关于单位圆的对称点。zρazb+4．若z=1，试证明=1，a，b为任意复数。bza+222azb+()azbaz++(b)a+++abzabzbazb+===1，所以=1。22bza+()bza++()bzab+++abzabzabza+5．证明下列各式：（1）zzzz−≤−+11arg；zz−1z322（2）若zzz==，则arg=arg。123zz−2z311z（1）先证−≤1argz。ziϕziϕϕ记ze=ρ，−=−=−11ez22cosϕϕ=2sin≤=arg。z2zzz−=−+−≤−+−=−+111zzzzzzz1−≤−+1zzz1arg。z（2

8、）zz−z