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时间:2017-12-08
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1、1.写出下列复数的实部,虚部,模和幅角:ixsiniz(1)13+i;(2)1cos−+αisinα,02≤α<π;(3)e,x为实数;(4)e;z41+i1+iixϕ()(5)e;(6)−1;(7)1+i;(8);(9)e;(10)e,ϕ()x是实变数x1−i的实函数。22⎛⎞Imπ(1)Re1=,Im=3,Am=Re+Im=2,Arg=arctan⎜⎟+=+2kkπ2π;⎝⎠Re322α(2)Re1cos=−α,Im=sinα,Am=()1cos−+=ααsin22cos−=α2sin,2αα2sincossinα22απ−αtanArg(
2、)===cot,所以Arg=k+2π;1cos−α2α222sin2(3)Am1=,Arg=xksin+2π,Re=cossin(x),Im=sinsin(x);iz−+yix−y−y−y(4)zxi=+y,ee=,Am=e,Arg=x+2kπ,Re=excos,Im=exsin;xxx(5)Am=e,Arg=y+2kπ,Re=eycos,Im=eysin;121n+4−=⎡⎤in()ππ+24=i4π21n+(6)1ee,(n=0,1,2,3),Am1=,Arg=kπ+2π,⎣⎦4⎛⎞21n+⎛⎞21n+Re=cos⎜⎟π,Im=sin⎜⎟π
3、;⎝⎠4⎝⎠4⎛⎞ππ⎛⎞in⎜⎟++22πin⎜⎟ππ(7)12+=ie44⎝⎠48=2e⎝⎠,(n=0,1),Am=42,Arg=nk++π2π,844⎛⎞πnπn4πRe=+2cos⎜⎟nπ=()−12cos,Im=−()12sin;⎝⎠8881in()ππ42+2ππ22+n⎛⎞π12+ie⎡⎤i2in⎜⎟4+ππ⎝⎠(8)==⎢⎥ee=,(n=0,1),Am1=,Arg=nk++π2π,−iπ41−i⎣⎦2e4nn()−1()−1Re=,Im=;22(9)Am=e,Arg12=+kπ,Re=ecos1,Im=esin1;(10)Am1
4、=,Arg=xkϕ()+2π,Re=cos⎡⎣ϕ(x)⎤⎦,Im=sin⎡⎣ϕ(x)⎤⎦;2.把下列关系用几何图形表示出来:1(1)z<2,z=2,z>2;(2)Rez>,1Im25、c,为常数,且cab>−;(9)zz+Re<1;(10)⎛⎞zi−π0arg<<⎜⎟。⎝⎠zi+4(1)(2)(3)arg1()(−=zxarg1−−=iy)0⇔10−x>且y=0,即x<1,y=0;πarg1()(+=zxarg1++=⇔+>iyx)10且yx=31(+);3πarg()zi+−=1arg⎡⎤⎣⎦xi++1(y−=⇔+=1)x10且y−10>。2π(4)0<−arg1()zx=−arg1⎡⎤⎣⎦()−6、12−=−arg⎡⎤⎣⎦xi1)+−<(y2)⇔0。113.已知一复数z,画出iz,−z,z,,,并指出它们之间的几何关系。zziϕi(ϕπ+2)i(ϕ+π)把z写成ρe,则iz=ρe,即把z逆时针旋转90度。−=zeρ7、,即把z逆时针−iϕ11iϕ旋转180度。ze=ρ,即z关于实轴的对称点。=e,即z关于单位圆的对称点。zρ11−iϕ=e,即z关于单位圆的对称点。zρazb+4.若z=1,试证明=1,a,b为任意复数。bza+222azb+()azbaz++(b)a+++abzabzbazb+===1,所以=1。22bza+()bza++()bzab+++abzabzabza+5.证明下列各式:(1)zzzz−≤−+11arg;zz−1z322(2)若zzz==,则arg=arg。123zz−2z311z(1)先证−≤1argz。ziϕziϕϕ记ze=ρ,−8、=−=−11ez22cosϕϕ=2sin≤=arg。z2zzz−=−+−≤−+−=−+111zzzzzzz1−≤−+1zzz1arg。z(2)zz−z
5、c,为常数,且cab>−;(9)zz+Re<1;(10)⎛⎞zi−π0arg<<⎜⎟。⎝⎠zi+4(1)(2)(3)arg1()(−=zxarg1−−=iy)0⇔10−x>且y=0,即x<1,y=0;πarg1()(+=zxarg1++=⇔+>iyx)10且yx=31(+);3πarg()zi+−=1arg⎡⎤⎣⎦xi++1(y−=⇔+=1)x10且y−10>。2π(4)0<−arg1()zx=−arg1⎡⎤⎣⎦()−6、12−=−arg⎡⎤⎣⎦xi1)+−<(y2)⇔0。113.已知一复数z,画出iz,−z,z,,,并指出它们之间的几何关系。zziϕi(ϕπ+2)i(ϕ+π)把z写成ρe,则iz=ρe,即把z逆时针旋转90度。−=zeρ7、,即把z逆时针−iϕ11iϕ旋转180度。ze=ρ,即z关于实轴的对称点。=e,即z关于单位圆的对称点。zρ11−iϕ=e,即z关于单位圆的对称点。zρazb+4.若z=1,试证明=1,a,b为任意复数。bza+222azb+()azbaz++(b)a+++abzabzbazb+===1,所以=1。22bza+()bza++()bzab+++abzabzabza+5.证明下列各式:(1)zzzz−≤−+11arg;zz−1z322(2)若zzz==,则arg=arg。123zz−2z311z(1)先证−≤1argz。ziϕziϕϕ记ze=ρ,−8、=−=−11ez22cosϕϕ=2sin≤=arg。z2zzz−=−+−≤−+−=−+111zzzzzzz1−≤−+1zzz1arg。z(2)zz−z
6、12−=−arg⎡⎤⎣⎦xi1)+−<(y2)⇔0。113.已知一复数z,画出iz,−z,z,,,并指出它们之间的几何关系。zziϕi(ϕπ+2)i(ϕ+π)把z写成ρe,则iz=ρe,即把z逆时针旋转90度。−=zeρ
7、,即把z逆时针−iϕ11iϕ旋转180度。ze=ρ,即z关于实轴的对称点。=e,即z关于单位圆的对称点。zρ11−iϕ=e,即z关于单位圆的对称点。zρazb+4.若z=1,试证明=1,a,b为任意复数。bza+222azb+()azbaz++(b)a+++abzabzbazb+===1,所以=1。22bza+()bza++()bzab+++abzabzabza+5.证明下列各式:(1)zzzz−≤−+11arg;zz−1z322(2)若zzz==,则arg=arg。123zz−2z311z(1)先证−≤1argz。ziϕziϕϕ记ze=ρ,−
8、=−=−11ez22cosϕϕ=2sin≤=arg。z2zzz−=−+−≤−+−=−+111zzzzzzz1−≤−+1zzz1arg。z(2)zz−z
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