数学物理方法习题解答(完整版)

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1、数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明在平面上处处不可导。证明：令。，。，，。于是与在平面上处处不满足C－R条件，所以在平面上处处不可导。2、试证仅在原点有导数。证明：令。。。。所以除原点以外，不满足C－R条件。而在原点连续，且满足C－R条件，所以在原点可微。。或：。。【当，与趋向有关，则上式中】673、设，证明在原点满足C－R条件，但不可微。证明：令，则，。，；，。在原点上满足C－R条件。但。令沿趋于，则依赖于，在原点不可导。4、若复变函数在区域上解析并满足下列条件之一，证明其在区域67上必

2、为常数。（1）在区域上为实函数；（2）在区域上解析；（3）在区域上是常数。证明：（1）令。由于在区域上为实函数，所以在区域上。在区域上解析。由C－R条件得，。在区域上为常数。从而在区域上为常数。（2）令，则。在区域上解析。由C－R条件得。（1）又在区域上解析，由C－R条件得。（2）联立（1）和（2），得。在区域上均为常数，从而在区域上为常数。（3）令，则。由题设知在区域上为常数，。67又由C－R条件得，在区域上，于是在区域上为常数。在区域上均为常数，从而在区域上为常数。5、证明不能成为的一个解析函数的实部。证明：令，。不

3、满足拉普拉斯方程。从而它不能成为的一个解析函数的实部。6、若，试证：（1）；（2）；（3）；（4）。证明：（1），。（2），。（3）。67（4）。7、试证若函数和在解析。，则。（复变函数的洛必达法则）证明：。或倒过来做。8、求证：。证明：。第二章习题解答9、利用积分估值，证明a．积分路径是从到的右半圆周。b．证明积分路径是直线段。证明：a．（方法一）。67（方法二）在半圆周上，，从而在半圆周上，，，。或：。b．证:。10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点，半径为的单位圆周。a．；b．。证明：a．的奇点

4、为，由于，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。由柯西定理:。b．的奇点为，，它们均不在以原点为圆心的单位圆内。在以原点为圆心的单位圆内处处解析。由柯西定理:。6711、计算a．；b．。解:a．在所围区域内解析，且在所围区域内。由柯西积分公式得。b．在所围区域内解析，且在所围区域内。由推广的柯西积分公式得。12、求积分（），从而证明。解:在所围区域内解析，且在所围区域内。由柯西积分公式得。（1）在上令，，则，其中利用了，由于是的奇函数，而是的偶函数，所以，。67。（2）从而，联立

5、（1）和（2），得。13、由积分之值，证明，为单位圆周。证明：在单位圆周所围区域内解析。由柯西定理:。（1）另一方面，在上，，（2）为的奇函数，（3）由（1）、（2）及（3）得。（4）又的偶函数，。（5）于是由（4）和（5）得。14、设，证明积分a.当是圆周时，等于；67b.当是圆周时，等于；c.当是圆周时，等于。证明：的奇点为及。a.当是圆周时，及均在圆外，在圆内解析。由柯西定理:。b.当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得。c.当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得。第三章习题解答15、求下列级数的收敛半径，并对c讨

6、论级数在收敛圆周上的敛散情况。a.；b.；c.（为常数）。解:a.。b.。c.。或。67【（洛必达法则）】在收敛圆周上，，级数成为。，它的通项在时，不趋于。故级数发散。16、试求下列级数的收敛半径。a.；b.；c.。解:a.当时，级数收敛。当时，级数发散。亦即当时，级数收敛。而当时，级数发散。于是收敛半径。b.。c.，。又因为，且，故。于是所求级数的收敛半径。或：，。67当时，，当时，，17、将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围。a.；b.。解:a.，，。b.，，。18、将下列函数按的幂展开，并指出收敛范围。a.；b.；

7、c.。解:a.。，，。，。67。或：令，则，，所以。b.c.令，，从而67进一步，所以。19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。a.,；b.。解:a.。在内,，。在内,，，。b.在内，，且，。67，。20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范围。a.【】；b.【】。解:a.的无心邻域为，，且，【】。，。b.当时，，，67。21、把展成下列级数。（1）在上展成的泰勒级数；（2）在上展成的罗朗级数；（3）在上展成的泰勒级数；（4）在上展成的罗朗级数。解:（1）在上，，【在上解析】。（2）在上，。（3）

8、在上解析，且，所以。（4）在上，，所以。第四章习题解答22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论：（1）；（2）；（3）。67解:（1）是的孤立奇点且是极点。，是的一阶零点，从而是的一阶极点；，，是的二阶零点，从而是的二阶极点。在内解析，，是可去奇点