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1、页眉数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Rez在z平面上处处不可导。证明：令Rezuiv。QRezx，ux,v0。u1，v0，uv。xyxy于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件，所以Rez在z平面上处处不可导。2、试证fzz2仅在原点有导数。证明：令fzuiv。Qfzz2y2ux2y2,v0。x2u2x,u2y。vv。xyxy所以除原点以外，u,v不满足C－R条件。而u,uv,v在原点xyxy连续，且满足C－R条件，所以fz在原点可微。f0uivviu0。xxx0yyx0y0y02或：f0limzlim*xiy0。zzlimz0z0y0
2、x022***zzzlimzzzzlim(z*zz)z00。lim0z0zzzz0z**z*【当z0,zrei，zei2与趋向有关，则上式中z1】zzz1/671页眉3、设f(z)x3y3i(x3y3)z0，证明f在原点满足C－R条件，但不x2y2z0z=0可微。证明：令fzux,yivx,y，则x3y3x2y20，ux,yx2y20x2y2=0x3y3x2y20。v(x,y)x2y20x2y2=0ux(0,0)limu(x,0)xu(0,0)limx31，x0x0x3uy(0,0)limu(0,y)yu(0,0)limy31；y0x0y3vx(0,0)limv(x,0
3、)v(0,0)limx31，x0xx0x3vy(0,0)limv(0,y)v(0,0)limy31。y0yx0y3ux(0,0)vy(0,0),uy(0,0)vx(0,0)f(z)在原点上满足C－R条件。但limf(z)f(0)limx3y3i(x3y3)。z0zz0(x2y2)(xiy)令y沿ykx趋于0，则x3y3i(x3y3)1k3i(1k3)k4k3k1i(k4k3k1)lim22iy)222z0(xy)(x(1k)(1ik)(k1)依赖于k，f(z)在原点不可导。4、若复变函数fz在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上2/672页眉必为常数。（1）
4、fz在区域D上为实函数；（2）f*z在区域D上解析；（3）Refz在区域D上是常数。证明：（1）令f(z)u(x,y)iv(x,y)。由于fz在区域D上为实函数，所以在区域D上v(x,y)0。Qf(z)在区域D上解析。由C－R条件得uv0，uv0。xyyx在区域D上u(x,y)为常数。从而fz在区域D上为常数。（2）令f(z)u(x,y)iv(x,y)，则f*(z)u(x,y)iv(x,y)。Qf(z)在区域D上解析。由C－R条件得uv,uv。（1）xyyx又f*(z)在区域D上解析，由C－R条件得uv,uv。（2）xyyx联立（1）和（2），得uuvv0。xyxyu,
5、v在区域D上均为常数，从而f(z)在区域D上为常数。（3）令fzux,yivx,y，则Ref(z)ux,y。由题设知ux,y在区域D上为常数，uu。x0y3/673页眉又由C－R条件得，在区域D上vuvu，于是v在区域D上为常数。x0,y0yxu,v在区域D上均为常数，从而在区域D上f(z)为常数。5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。证明：令uxy2，2u2u02x2x。x2y2u不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z的一个解析函数的实部。6、若zxiy，试证：（1）sinzsinxcoshyicosxsinhy；（2）coszcosxcoshyisinxsin
6、hy；（3）sinz2＝sin2xsinh2y；（4）cosz2cos2xsinh2y。证明：（1）sinzsin(xiy)sinxcos(iy)cosxsin(iy)Qcos(iy)coshy,sin(iy)isinhy，sinzsinxcoshyicosxsinhy。（2）coszcos(xiy)cosxcos(iy)sinxsin(iy)Qcos(iy)coshy,sin(iy)isinhy，coszcosxcoshyisinxsinhy。（3）2(sinxcoshy)2(cosxsinhy)2sin2xcosh2ycos2xsinh2ysinzsin2x(1si
7、nh2y)cos2xsinh2ysin2x(sin2xcos2x)sinh2ysin2xsinh2y。4/674页眉（4）cosz2(cosxcoshy)2(sinxsinhy)2cos2xcosh2ysin2xsinh2ycos2x(1sinh2y)sin2xsinh2ycos2xcos2xsinh2ysin2xsinh2ycos2x(cos2xsin2x)sinh2ycos2xsinh2y。7、试证若函数fz和z在z0解析。fz0z00,z00，则limfzfz0。（复变函数的洛必达法则）zz0zz0证明：limf(z)f(z0)f(
