数学物理方法第13章作业解答new

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1、数学物理方法第13章作业解答2第422页1.求解一维无界空间的扩散问题即u−au=0,u=ϕ(x).txxt=0解步骤(1)对方程做拉普拉斯变换得2pu(x,p)−u(x,0)−au(x,p)=0,代入初条得xxp1uu=−ϕ(x)xx22aa步骤(2)解该线性非齐次微分方程该方程的通解可直接引用P例2的结论419px−px1px−pξ1得u(x,p)=Aea+Bea−ea∫eaδ()ξdξ2ap1−pxpξ1+ea∫eaδ()ξdξ2ap考虑到x→±∞时有限A=B=0注解定理1.线性非齐次方程的通解等于它的任何一个特解与对应的齐

2、次方程的通解之和定理2.线性非齐次方程的特解可由对应齐次方程的基本解组成的线性组合通过求积得到步骤(3)做拉氏反变换∞pxp−111−()ξ−x11()ξ−xu(x,t)=L[]u(x,p)=∫eaϕ(ξ)dξ+∫eaϕ(ξ)dξ2axp2a−∞p11α2−−α−反演时需使用L1ep=e4tpπt2()x−ξ()x−ξ−1±p1−2所以L1ea=e4atpπt22∞()x−ξx()ξ−x−11−211−2最后得u(x,t)=L1[]u(x,p)=∫e4atϕ(ξ)dξ+∫e4atϕ(ξ)dξ2axπ

3、t2a−∞πt2()x−ξ∞−ϕ(ξ)4a2t=∫edξ−∞2aπt2utt−auxx=0补充求解ut=0=ϕ(x),utt=0=0解步骤(1)两边做傅氏变换得"22U(k,t)+kaU(k,t)=0'U(k,t)t=0=Φ(k),U(k,t)t=0=0步骤(2):解该方程得U(k,t)=Acoskat+Bsinkat代入初条得A=Φ(k),B=0即U(k,t)=Φ()kcoskat步骤(3)做付氏反演−1−1u(x,t)=F[]U=F[]Φ()kcoskat∞∞()ikx1()()ikat−ikatikx=∫

4、Φkcoskatedk=∫Φke+eedk2−∞−∞∞1()ik(x+at)()ik(x−at)=∫[Φke+Φke]dk2−∞1最后由延拓定理得[]ϕ()x+at+ϕ(x−at)2第417页2.研究半无限长细杆导热问题杆端x=0温度保持为零初始温度分布()−λx为Ke−1.2ut−auxx=0()x≥0解−λxu=0,u=K()e−1x=0t=0步骤(1)做傅氏变换但由于x<0没有定义必须进行延拓由于是第一类齐次边条()u=0故做奇延拓x=02u−au=0()−∞

5、t=0=−λx=ϕ(x)K()e−1()x>0'22U(k,t)+kaU(k,t)=0经傅氏变换有U(k,0)=Φ(k)22−kat步骤(2):解得U(k,t)=Ce,代入初条即22−katU=Φ(k)e∞22−1[]−katikx步骤(3):反演u(x,t)=FU(k,t)=∫Φ(k)eedk−∞∞∞1()−ikξ−k2a2tikx=∫∫ϕξedξeedk2π−∞−∞∞∞0∞K−λξik(x−ξ)−k2a2tKλξik(x−ξ)−k2a2t=∫()e−1∫edkdξ−∫()e−1∫edkdξ2π2π0−∞−∞−∞∞

6、先把积出应用积分公式(P例2),得∫408∞()x−ξ2()x−ξ2∞−0−Kπ−λξ4a2tλξ4a2t∫()e−1edξ−∫()e−1edξ2πat0−∞()x−ξ2()x−ξ2∞−λξ+0λξ−Kx4a2t4a2t=−2aπterf+edξ−edξ2aπt2at∫∫0−∞()x−ξ2()x−ξ2∞−λξ+0λξ−4a2t4a2t令I=edξ,I=edξ1∫2∫0−∞xK=−Kerf+()I+I122a

7、t2aπt22xKa2λ2t−λx2aλt−xλx2aλt+x最后=−Kerf+eeerfc−eerfc2at22at2at---end---