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1、数理方法CH3作业解答P51习题3.21.确定下列级数的收敛半径：¥¥kkkk（2）åkz（4）å(k+a)zk=12k=0¥kk解：（2）åkzk=12akk+12kk收敛半径为：R=lim
2、
3、=lim
4、/()
5、=lim=2kk+1k®¥ak®¥22k®¥k+1k+1¥kk（4）å(k+a)zk=0kak+ak解：收敛半径为：R=lim
6、
7、=lim
8、
9、若
10、a
11、£1，则k+1k®¥ak®¥(k+1)+ak+1kk+alim
12、
13、=1k+1k®¥(k+1)+a若
14、a
15、>1，则k+ak罗比塔法则1+kak-1罗比塔法则k
16、(k-1)ak-21lim
17、
18、=lim
19、
20、=lim
21、
22、=k+1kk-1k®¥(k+1)+ak®¥1+(k+1)ak®¥(k+1)ka
23、a
24、¥k2.åakz的收敛半径为R(0£R<¥)，确定下列级数的收敛半径：k=1¥nk（1）åkakzk=0nkakknakknak解：收敛半径为：lim
25、)
26、=lim
27、()
28、×
29、
30、=lim
31、()
32、×lim
33、
34、nk®¥(k+1)ak®¥k+1ak®¥k+1k®¥ak+1k+1k+1knak而lim
35、()
36、=1lim
37、
38、=Rk®¥k+1k®¥ak+1所以，所求收敛半径为RP55习题3.
39、311.将下列函数在z=0点展开成幂级数，并指出其收敛范围：1（1）2(1-z)解：解法之一：利用多项式的乘法：¥1k已知=åz
40、z
41、<1，1-zk=0¥¥1kk2=(åz)×(åz)(1-z)k=0k=023k=1+2z+3z+4z+...+(k+1)z+...¥k=å(k+1)zk=0解法之二：逐项求导：11=()'2(1-z)1-z¥¥1kk-123k-1则2=(åz)'=åkz==1+2z+3z+4z+...+kz+...(1-z)k=0k=11由于在复平面内有唯一的奇点z=1，它与展开中心的距离为1，故该
42、级2(1-z)数的收敛范围为
43、z
44、<11（2）az+b¥¥k111kakkak解：=a=å(-1)(z)=å(-1)k+1zaz+bb(1+z)bk=0bk=0bbab收敛范围：
45、z
46、<1即
47、z
48、<
49、
50、ba1（5）21+z+z11-z1z解：==-23331+z+z1-z1-z1-z¥31k令t=z，则=åt，故1-tk=02¥¥13kz3k+13=åz3=åz1-zk=01-zk=0¥¥13k3k+1所以，2=åz-åz收敛范围为
51、z
52、<11+z+zk=0k=02.将下列函数按(z-1)的幂展开，并指明其收敛范围
53、：（1）cosz解：cosz=cos[(z-1)+1]=cos(z-1)cos1-sin(z-1)sin1¥k2k¥k2k+1(-1)(z-1)(-1)(z-1)=cos1å-sin1å收敛范围：
54、z-1
55、<¥k=0(2k)!k=0(2k+1)!3.应用泰勒级数求下列积分：zsinz（3）Siz=òdz0z解：利用正弦函数的泰勒展开式：¥k2k+1¥k2k(-1)zsinz(-1)zsinz=å，得到=å则k=0(2k+1)!zk=0(2k+1)!¥k2k¥k2k¥k2k+1zsinzz(-1)zz(-1)z(-1
56、)zòdz=òådz=åòdz=å0z0k=0(2k+1)!k=00(2k+1)!k=0(2k+1)!(2k+1)a4.函数(1+z)在a不等于整数时是多值函数，试证明普遍的二项式定理：aaaa(a-1)2a(a-1)(a-2)3(1+z)=1[1+z+z+z+...]1!2!3!aia2kp式中，a为任意复数；1=eaaLn(1+z)a[ln(1+z)+i2kp]ia2kpaln(1+z)解：(1+z)=e=e=e×ealn(1+z)下面将e在z<1中作泰勒展开：¥(k)aln(1+z)kf(0)记f(z)=e=
57、åakz，其中，ak=k=0k!aaln(1+z)af'(z)=e=f(z)①Þf'(0)=a1+z1+z同时由①式有：(1+z)f'(z)=af(z)②将②式两边再对z求导：(1+z)f''(z)+f'(z)=af'(z)得到(1+z)f''(z)=(a-1)f'(z)③3得f''(0)=a(a-1)将③式两边再对z求导得：(3)(3)(1+z)f(z)+f''(z)=(a-1)f''(z)得到(1+z)f(z)=(a-2)f''(z)(3)得f(0)=a(a-1)(a-2)(k)以此类推，得f(0)=a(a-1
58、)(a-2)...(a-k+1)(k)f(0)1则a==a(a-1)(a-2)...(a-k+1)kk!k!所以¥¥¥aln(1+z)kk1ke=åakz=åakz=åa(a-1)(a-2)...(a-k+1)zk=0k=0k=0k!¥则aia2kp1k(1+z)=eåa(a-1)(a-2)...(a-k+1)zk=0k!aaa(a-1)2a(a-1)(a-
