函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

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1、内容回顾其中拉格朗日形式的余项或皮亚诺形式的余项n阶泰勒公式当时为n阶麦克劳林公式.1常用函数的麦克劳林公式2解3解法24三次多项式5练习6四、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.可解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.7已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为8例2.用近似公式计

2、算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.92.利用泰勒公式求极限解103.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:11两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!例5证明e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.12解13例7解利用麦克劳林公式14泰勒公式的应用(2)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(1)利用多项式逼近函数,常用函数的

3、麦克劳林公式(P140~P142)15第三章微分中值定理与导数的应用第四节函数的单调性与曲线的凹凸性16函数的单调性xyoxyo1718一、单调性的判别法定理说明:1.该定理的条件是充分条件而非必要条件定理’1920观察下面的图形,你能得出什么结论？综上所述,可知:21(1)确定函数定义域;判断函数单调性的方法总结:22例1解23二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点

4、和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:24例2解单调增区间为单调减区间为25例3解单调增区间为单调减区间为26时,成立不等式证:令从而因此且证例427*证明令则从而即28例5证利用单调性判别方程根的情况2930利用单调性判别方程根的情况的一般步骤:第一步第二步第三步31利用函数处理数列例6证32观察以下曲线各曲线有什么不同?..三、曲线的凹凸性弯曲方向不同33曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方凸凹34凸35凹36定义37解

5、例938有什么想法？39能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？40