函数单调性与曲线的凹凸性课件.ppt

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1、第一节、微分中值定理第三节、泰勒公式第3章本章内容：第二节、洛必达法则第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性第五节、函数的极值与最大值最小值第六节、函数图形的描绘第3章微分中值定理与导数的应用第七节、曲率1一、单调性的判别法三、小结及作业2一、单调性的判别法定理3证应用拉氏定理,得4例2解5说明:(1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,(2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,6（3）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的点及导数不存在的点．7（5）讨论函数单调性的步骤：1.确定函数的定义域；2.求函

2、数导数为零的点及一阶导数不存在的点；3.这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。（6）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,8例3.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为9例4解单调区间为10例5证11证明：因此，单调减少,单调减少也就是单调减少,12例7.证明证：令从而成立当时，13例7.14问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方151.曲线的凹凸与拐点的定义定义1.设函数在区间上连续,(1)若恒有则称的图形是凹的;(2)若恒有则称的图形函数图形上凹凸的分界点称为拐点.是凸的.162、曲线凹凸的判定定理

3、1（证明略）17例4.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,184）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a）求出；（b）求出使的点及不存在的点；（c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线的凹凸区间及拐点。19例2解注意到,20例3.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.21例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别点(0,1)及均为拐点.故该曲线在

4、上凸2223三.内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线的凹凸分界点24思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在2526