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1、函数单调性的判别法函数单调区间的求法小结思考题作业6.4函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第6章微分中值定理与导数的应用1定理6.8单调增加;单调减少.一、函数单调性的判别法设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.那末函数y=f(x)在[a,b]上那末函数y=f(x)在[a,b]上2证拉氏定理(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注若在(a,b)内,若在(a,b)内,因为所以y=f(x)在[a,b]上单调增加;因为所以y=f(x)在[a,b]上单调减少.3例解定义域
2、为因为所以所以4方法问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的点划分函数f(x)的定义区间,5例解定义域单调区间为单调区间.6例解单调减少区间为定义域单调增加区间为导数不存在.7区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如,注不影响区间的单调性.单调增加.又如,可导,且等号只在(无穷多个离散点)处成立,故内单调增加.8例证因为因为9例证定不出符号
3、10即11证练习若令则只须证明g(x)单调增加.而拉氏定理g(x)单调增加.从而12考研数学(一,二)12分练习证法一则所以单调减少,从而单调增加.因此即故13练习证法二对函数所以单调减少,从而在[a,b]上应用拉氏定理,得设则即即考研数学(一,二)12分14考研数学(一,二)选择题4分设函数f(x)连续,则存在使得15?(concaveandconvex)三、曲线凹凸性的判别法1.定义如何研究曲线的弯曲方向16定义6.1恒有凹(凸)图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方如果对(a,b)内任意两点x1,x2
4、,那么称f(x)在(a,b)内的图形是的.17曲线弧上每一点的切线都在曲线的下或定义(上)方,称为凹弧.(凸)凹弧的曲线段f(x)的切线斜率是单增的,是单增的,弧的切线斜率是单减的,是单减的.而凸利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,18定理6.9具有二阶导数,凹(凸)2.凹凸性的判别法如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内在(a,b)内,在[a,b]上的图形是的.则f(x)19证即这说明切线位于曲线的下方,泰勒公式即f(x)是凹的.20即例证设图形是凹的.利用函数图形的凹凸性证明不等式:21例解注凸变
5、凹的分界点.点(0,0)是曲线由22练习考研数学(一,二,三,四)填空4分设函数y=f(x)具有二阶导数,分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,则231.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上四、曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.24拐点的充分条件2.拐点的求法拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件若f(x)具有二阶导数,则点(1)(2)(x0,f(x0))是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)设函数f(x)在点x0邻域内二阶可导,点(x0,
6、f(x0))即为拐点;点(x0,f(x0))不是拐点.25例解不存在定义域为(1)(2)(3)列表拐点拐点26例解拐点的第二充分条件设函数f(x)在x0的邻域内是曲线y=f(x)的拐点.三阶可导,那末(x0,f(x0))27例解函数的单调性与曲线的凹凸性28证法一用单调性证.法二用凹凸性证.例设则即函数的单调性与曲线的凹凸性所以f(x)的图形是凸的.29函数的单调性与曲线的凹凸性例的单调区间、凹凸区间和拐点.解不存在,不存在拐点单调增加区间单调减少区间凸区间凹区间30练习考研数学(三,四)10分设函数y=y(x)由方程确定,试判
7、断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.解两边对x求导得解得两边对x再求导得31练习考研数学(三,四)10分设函数y=y(x)由方程确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.由于二阶导函数的附近是连续函数,所以由的附近故曲线y=y(x)在点(1,1)附近是凸.32五、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的应用:改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.应用.33证只要证令则所以即有得思考题1也即34
8、思考题2考研数学二,8分证明不等式证先证右边不等式.设单调减少,故有即35思考题2考研数学二,8分证明不等式再证左边不等式.方法一设函数由拉氏定理知,至少存在一点使由于从而36思考题2考研数学二,8分证明不等式再证左边不等式.方法二设因为单调增加,故有即从而即3
