函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

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1、主要内容：第三章微分中值定理与导数的应用第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法;二、曲线的凹凸性、拐点;三、函数凹凸性的判定法.f(x)>0f(x)<0观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？一、函数单调性的判定法定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少定理1

2、(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少由拉格朗日中值公式有f(x2)f(x1)=f(x)(x2x1)(x10x2x1>0所以f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)>0即f(x1)

3、x2)在(0)内y<0∴函数在(0]上单调减少在(0)内y>0∴函数在[0)上单调增加解函数yexx1的定义域为()yex1例1讨论函数yexx1的单调性定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少解函数yexx1的定义域为()yex1例1讨论函数yex

4、x1的单调性定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上单调减少导数为零的点为:x0列表分析xyy(0][0)－＋↘↗解函数的定义域为()所以函数在[0)上单调增加因为x>0时y>0所以函数在(0]上单调减少因为x<0时y<0例2列表分析：不可导点x=0xyy(0)(0)－＋↘↗解

5、函数的定义域为()例2函数在(0]上单调减少在[0)上单调增加.(1).确定函数的定义域；(2).求出导数f(x)；(3).求出满足f(x)=0的点和导数不存在的点；(4).列表讨论做出总结。讨论函数单调性的步骤：xyy解这个函数的定义域为()函数f(x)在区间(0]、[1)上单调减少在区间[01]上单调增加(0)(01)(1)↗↘练习：讨论函数的单调性导数为零的点x=1,不可导点x=0,↘－－＋说明：如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点

6、处均为正(或负)时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的例3讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为()y3x2显然当x0时y0;当x0时y>0因此函数yx3在区间(0]及[0,)上都是单调增加的从而函数在整个定义域()内是单调增加的问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续对I上任意两点x1x2如果恒有那么称f(x)在I上的图形是凹的那么

7、称f(x)在I上的图形是凸的如果恒有观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与f(x)的单调性的关系.1)f(x)的图形是凹的2)f(x)的图形是凸的f(x)单调增加;f(x)单调减少.定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的例5判断曲线yx3的凹凸性解y3x2y6x由y0得x0.因为当x<0时y<0所以曲

8、线在(0]上是凸的因为当x>0时y>0所以曲线在[0)上是凹的定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[ab]上连续在(ab)内具有二阶导数.若在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的若在