函数的单调性与曲线的凹凸性

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1、第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解1．讨论函数在上的单调性。【解法一】因为由于，得上恒成立，而等号仅在和两个孤立点上成立，可知，函数在上单调增加。【解法二】因为在上恒成立，可知，函数在上单调增加，亦即在上单调增加。2．求下列函数的单调区间：⑴；【解】函数的定义域为，由于，得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析：可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。【课本答案漏了在内单调增加】⑵；【解】函数的定义域为，由于，得函数有一个驻点和一个不可导点，11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解作图表分析：可知，函数分别在和，

2、在内单调减少。【课本答案漏了在内单调增加】⑶；【解】函数的定义域为，由于，得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析：可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。⑷；【解】函数的定义域为，由于，得函数在定义域上只有一个驻点，无不可导点，11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解作图表分析（注意定义域）可知，函数在内单调减少，在内单调增加。【课本答案有误】⑸；【解】函数的定义域为，由于，得函数有两个驻点和，无不可导点，作图表分析：可知，函数分别在和内单调增加，在内单调减少。⑹。【解】函数的定义域为，由于，得函数有三个驻点，，无不可导点，11第3章中值定

3、理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解作图表分析：因为是函数连续点，且是的孤立点，可知，函数分别在，内单调增加，在内单调减少。3．证明下列不等式：⑴当时，；【解】令，由于当时恒成立，知函数在上单调增加，而，从而，当时，亦即。证毕。⑵当时，；【解】令，由于当时恒成立，知函数在上单调增加，而，从而，当时，亦即。证毕。11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解⑶当时，；【解】令，由于，----，显见恒成立，知函数在上单调增加，有，而，可知当时恒成立，由此知函数在上单调增加，有，再因，再知当时恒成立，有，这说明函数在上单调增加，又再因，最终确定

4、当时恒成立，亦即，当时，，证毕。⑷当时，。【解】令，11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解由于而因知函数是增函数，即当时，有，再因，可知当时恒成立，从而知函数在上单调增加，即当时，有，而，从而，当时，亦即。证毕。4．证明方程在区间内有且只有一个实根。【证明】令，则由于恒成立，知函数是增函数，因为，，可知曲线在区间内，从单调增加到+1，亦即曲线在区间内仅穿过轴一次，亦即，方程在区间内有且只有一个实根。11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解5．求下列函数的凹凸区间以及拐点：⑴；【解】函数的定义域为，由，得，知函数有两个二

5、阶导数的零点和，无二阶不可导点，作图表分析：可知，曲线分别在和内是凹的，在内是凸的，由于，，又知曲线有两个拐点和。⑵可知，曲线分别在和内是凹的，在内是凸的，【解】函数的定义域为，由，得，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶不可导点，易见，当时，，当时，，可知，曲线在上是凸的，在上是凹的，由于，又知曲线有一个拐点。⑶；11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解【解】函数的定义域为，由，得，知函数有一个二阶导数的零点，无二阶不可导点，易见，当时，，当时，，可知，曲线在上是凸的，在上是凹的，由于，又知曲线有一个拐点。⑷；【解】函数的定义域为，由，得恒成立，知

6、曲线是凹的，无拐点。⑸；【解】函数的定义域为，由，得，知函数有三个二阶导数的零点，，无二阶不可导点，作图表分析：可知，曲线分别在和上是凸的，分别在和上是凹的，11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解由于，，又知曲线有三个拐点，和。⑹。【解】函数的定义域为，由，得，知函数有一个二阶导数的零点，无二阶不可导点，易见，当时，，当时，，可知，曲线在上是凹的，在上是凸的，由于，知曲线的拐点是。6．利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：⑴（，，，）【证明】研究函数（），由于，，当时，恒成立，可知曲线（）在上是凹的，即由曲线凹凸定义，凹曲线在上的任意相异两点，，

7、恒有，亦即，即为（，，，）成立，11第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单调性与曲线的凹凸性习题解证毕。⑵（）。【证明】研究函数（），由于，，当时，恒成立，可知曲线在内是凸的，即由曲线凹凸定义，凸曲线在上的任意相异两点，，恒有，亦即，即为（）成立，证毕。7.问及为何值时，点为曲线的拐点？【解】函数的定义域为，由于，，得函数有一个二阶导数零点，无二阶不可导点，于是，要使点为曲线的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线上的点的要求，应使，亦即。8．试确定曲线中的，，，，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲