函数的单调性与曲线的凹凸性(1)

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1、3.4函数的单调性与曲线的凹凸性3.4.1函数的单调性的判别法定理3.8设函数在内可导，则在内递增（或递减）的充分必要条件是（3—21）证只证递增的情形.充分性则由拉格朗日中值定理的，使得因，故故于是在内单调递增.必要性则当充分小时，.因在内递增，故于是，由极限的不等式性得，定理3.9若函数在上连续，在内可导，且，则在内严格单调递增（或严格单调递减）.例1判定函数在上的单调性.解因该函数在上连续，在内，，故在上单调递增.例2讨论函数的单调性.解该函数的定义域为，解方程得77列表故该函数上单调递减，在上

2、单调递增.例3讨论函数的单调性.解函数的定义域为，其不可导点是当时，列表故该函数在是单调递减，在是单调递增.例4（自学）例5讨论函数的单调性.解函数的定义域为，令得，列表故在及上都是递增的，又因该函数在点是连续的，故该函数在区间内是连续的.773.4.2曲线的凸凹性与拐点定义3.2设函数在内可导，若曲线都位于其每个点处的切线的上方（或下方），则称函数在内的图象是凹（或凸）的.定理3.10设函数在区间内具有二阶导数，那么（1）若在内，，则曲线在内是凹的；（2）若在内，，则曲线在内是凸的.严格凹，严格凸，P

3、122例7判断曲线的凹凸性.解该函数的定义域为，故曲线在内是凸的.例8讨论曲线的凹凸性.解该函数的定义域为，易得，令得.当时，；当时，，所以曲线在是凹的，在是凸的.本例中，点是曲线的凹凸分界点，称为曲线的拐点.定理3.11若函数在区间内存在二阶导数，则是点为函数的拐点的必要条件.例9求曲线的拐点.解该函数的定义域为，令得当时，；当时，，故点是曲线的拐点.例10求曲线的拐点及凹、凸区间.77解该函数的定义域为；解方程，得列表凹1凸凹故曲线在区间都是凹的，在区间是凸的.作业P125:1.(1),3.(1).

4、部分习题解答1.确定下列函数的单调区间：（1）解该函数的定义域为，令得列表故该函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.2.确定下列函数的凹凸区间与拐点：(1)解该函数的定义域为，令得列表77凸凹故曲线在上是凸的，在是凹的.77