函数的单调性与曲线的凹凸性

《函数的单调性与曲线的凹凸性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法定理1.证:应用拉氏定理,得例1．解：说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间.例2．解：说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两个具有单调性的区间.注:函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.说明：驻点和导数不存在的点,可能是单调区间的分界点.求单调区间的方法:例3.确定函数的单调区间.解:(2)求驻点:单调增加区间:单调减少区间:(1)定义域:(3)列表判断:例4.确

2、定函数的单调区间.解:单调增加区间:单调减少区间:0(2)求驻点:(1)定义域:(3)列表判断:例5．证：例6.证:证毕.例7.证：令(1)存在性.例7.(2)唯一性.证:三、曲线的凹凸性与拐点弧ADB是凹的;弧ACB是凸的.CD定义:设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是(向上)凹的(或凹弧);(2)若恒有则称图形是(向上)凸的(或凸弧).定理2.(1)x∈(a,b):则f(x)在[a,b]图形是凹的;(2)x∈(a,b):则f(x)在[a,b]图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数证毕例9.解:定义域:D=(0,＋∞).例10.解:2.曲线在点

3、(0,0)两侧的凹凸性发生改变.说明:1.二阶导数等于零的点划分函数的定义区间为两个凹凸区间;xy00定义域:D=(－∞,＋∞).例11.判定曲线的凹凸性.解:不存在说明:二阶导数不存在的点划分函数的定义区间为两个凹凸区间;定义域:D=(－∞,＋∞).若连续曲线y=f(x)经过点时凹凸性定义:发生改变,则称该点为拐点.拐点的判别法:则点是拐点.求凹凸区间及拐点的方法:(1)求函数f(x)的定义域D;例12.求曲线的凹凸区间及拐点.解:(1)定义域:D=(－∞,+∞);(3)对应(4)列表判别.凹区间:凸区间:(0,1),拐点:凹凹凸xy(2)例13.判断曲线的凹凸性.解:且曲线在上是凹的

4、.说明:若在某点二阶导数为0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,拐点的必要条件:例14.解:(2,4)是拐点x=3是极值点联立(1)-(3),得a=－6,b=9,c=2.例15.利用函数的凹凸性证明不等式:证明:即内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在2.证.3.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及;;证明:当时，有证明:令,则∴F(x)是凸函数即4.(自证)有位于一直线的三个拐点.5.求证曲线证明：令得从而三个拐点为因为所以三个拐点

5、共线.7.证:i)ii)证毕.作业P152:3(1)(3),8(1)(3),9(1)(2),12.