函数单调性与曲线的凹凸性(I)

《函数单调性与曲线的凹凸性(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、单调性的判别法三、小结及作业1一、单调性的判别法定理2证应用拉氏定理,得34例2解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．5（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的点及导数不存在的点．6（3）讨论函数单调性的步骤：）1）确定函数的定义域；2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,7例3.确定函数的单调区间.解:令得

2、故的单调增区间为的单调减区间为8例4解单调区间为9例5证10证明：因此，单调减少,f(x)单调减少也就是1112问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方131.曲线的凹凸与拐点的定义定义1.设函数在区间上连续,(1)若恒有则称的图形是凹的;(2)若恒有则称的图形函数图形上凹凸的分界点称为拐点.是凸的.142、曲线凹凸的判定定理115证:利用一阶泰勒公式可得两式相加16例1.判断曲线的凹凸性.解:当时时故曲线在上是向上凹的.说明(1)在个别二阶导数为0的点,若此点两侧二阶导数不变号,则不改变曲线的凹凸性

3、.17例2解注意到,18例3.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.19（3）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a）求出；（b）求出使的点及不存在的点；（c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线的凹凸区间及拐点。20例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别,点(0,1)及均为拐点.故该曲线在上凸21证明：2223三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.曲线的弯曲方向

4、——凹凸性;凹凸性的判定.改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1,2.2425思考题26思考题解答例27练习题2829练习题答案3031思考题32思考题解答不能断定.例但33当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．34练习题3536练习题答案3738