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1、函数的单调性及其判别方法函数单调性的应用函数的凹凸性与拐点渐近线第四节函数的单调性与凹凸性在第一章,函数在区间上单调增加(或减少)的几何解释:在某个区间上对应曲线是上升或下降的.如单调性是函数的重要性态之一.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.一、函数单调性及其判别法y=ƒ(x)oxxyyoy=ƒ(x)用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等.但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.若y=f(x)在区间(a,b)上单调递增若y=f(x)在区间(a,b)上单调递减各点
2、处切线的斜率为正各点处切线的斜率为负定理1(函数单调性的判定方法)设y=ƒ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,则对即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.证则ƒ(x)在区间[a,b]内单调递增加;则ƒ(x)在区间[a,b]内单调递减少.根据拉格朗日中值定理,有内单调递增;内单调递减.注1研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,哪些区间内递减.由定理1对可导函数的单调性,可根据导数的正负情况予以确定.注2定理1的结论对其他各种区间(包括无穷区间)也成立.解例1注函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一
3、区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注如果函数且等号仅在个别点处成立,则定理1仍成立.如oxy注反过来,若ƒ(x)在(a,b)内可导且单调增加(或减少),则ƒ(x)在(a,b)内必有单调增加.若则称点x0为函数f(x)的驻点.利用定理1可以讨论函数的单调区间.问题一般地,函数在定义区间上不是单调的，如何判断函数在各个部分区间上的单调性?若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点是单调区间的分界点．方法注不存在的点就是使导数没意义的点.(1)确定函数定义域;(
4、2)确定函数的驻点的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;(3)确定在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性.解函数f(x)定义域为例2求函数的单调区间.确定函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是:x列表讨论如下:故是ƒ(x)的递增区间.[1,2]是递减区间.(端点可包括也可不包括)将分成讨论函数的单调性.解函数定义域为练一练x故在内ƒ(x)是递增的,在内递减.列表讨论如下:不可导点.例3设在解函数的定义域为为确定右端的符号.设,则由于内,,故又因,可知在内都有,从而——证明不等式和判断方程根的个数.关键是根据所证不等式
5、及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性.例4证明不等式1.证明不等式证单增.二、函数单调性的应用单增.单减.证练一练证练一练证(1)设若y=ƒ(x)变号,则方程ƒ(x)=0一定有根,若函数单调,则曲线与x轴的只有一个交点,就是方程的根唯一.2.讨论方程根的个数问题且仅有一个正根.单调增加.例5(1)证明方程内有两个实根.有且仅有一个正根.(2)证明方程(2)设由连续函数的零点定理知，内有两个实根.三、函数的凹凸性与拐点函数ƒ(x)的单调性与极值是函数的重要性态.在研究了函数的单调性后,若不知道曲线的弯曲方向,仍不能准确描绘曲
6、线变化的特点.一般地,函数单调增加或单调减少都有两种方式,所以只讨论函数的单调性是不够的,还必须讨论它的凹凸性.BA•C如图中曲线弧AB是单增的曲线.但从A到C的曲线是向上凸的;从C到B的曲线是向下凸的.C恰好是上凸和下凸的分界点,我们称为拐点.显然,曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点对我们研究函数的性态是十分重要的.这就是下面讨论的凸性与拐点.1.曲线的凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义若曲线y=ƒ(x)在区间I内连续,则称曲线在该区间内是向上凹(或凸)的.ox
7、y••ABy=ƒ(x)oxyAB••y=ƒ(x)将曲线具有的向上凹或向上凸的性质称为曲线的凹凸性.定义2设函数y=ƒ(x)在区间I内可导.若该函数曲线在I内总是位于其上任意一点的切线上方(即曲线向下弯曲),则称该曲线在I内是向上凹的;区间I为该曲线的向上凹区间.用符号∪表示.称函数y=ƒ(x)为在区间I内的凸函数.oxyy=ƒ(x)向上凹（或凸）的另一种定义：若该函数曲线在I内总是位于其任意一点的切线下方(即曲线向上弯曲),则称该曲线在I内是向上凸的;区间I为该曲线的向上凸区间.用符号∩表示.称函数y=ƒ(x)为在区间I内的凹函数.oxy
8、y=ƒ(x)2.曲线凸性的判定AB显然,用定义来判别曲线的凸性是极不方便的.由定义2知向上凸曲线从点A移到点B时,对应的切线斜率单调减少的.注向上凹＝凹＝∪向上凸＝凸＝∩AB向上凹曲线从点A移
