函数的单调性与曲线凹凸性

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1、第三节3.3.1、函数单调性3.3.2、曲线凹凸性函数的单调性与曲线凹凸性第三章3.3.1、函数单调性的判定法若定理3.3.1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结束证毕例3.3.1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例3.3.2.证明时,成立不等式证:令且证明目录

2、上页下页返回结束有即从而定义3.3.1.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.3.3.2、曲线凹凸性机动目录上页下页返回结束定理3.3.2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:两式相加，得说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕记例3.3.3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.机动目录上页下页返回结束例3.3.4.求曲线的拐点.解:不存在凹凸因此点(0,0)为曲线的拐点.小结判定函

3、数凹凸性及求拐点的步骤1、求函数的二阶导数。2、求二阶导数为0或不存在的点。3、根据定理3.3.2判断说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例3.3.5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及凹,凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减机动目录上页下页返回结束2.曲线凹凸与拐点的判别+–

4、拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在机动目录上页下页返回结束.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P1331(2),(5);3，4(2)，5;;;证明:当时，有证明:令,则是凸函数即2.机动目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上页下页返回结束