函数单调性与凹凸性

《函数单调性与凹凸性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第九节函数单调性与凸性的判别法一、单调性的判别法二、凸性及其判别法三、小结一、函数单调性的判别法1、单调性的判别法2、单调区间求法3、利用单调性可以证明不等式4、利用单调性可以证明根的唯一性1、单调性的判别法由导数定义及极限保号性可以证明:定理(函数单调性的判定法)备注:证应用拉氏定理,得例1解注意函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．2、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个

2、区间内是单调增加(减少)的，则该区间称为函数的单调增加(减少)区间，这时也称函数是该区间的单调增加(减少)函数.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．求函数的单调区间的方法:有些函数在所讨论的定义区间上不是单调的，但在所讨论区间的各个部分区间内是单调的,需要把这些区间分开为部分区间,使函数在各部分区间内单调,这种题型叫做求函数的单调区间.例2解单调区间为例3解单调区间为例4解注意若区间内导数为零的点只是孤立点,则不影响区间的单调性,即函数在区间内仍是单调的.例如,3、利用单调性可以证明不等式例5证例6证例6证

3、例7证例证4、利用单调性可以证明根的唯一性例8证由零点定理即方程至少有一个小于1的正实根.矛盾,4、利用单调性可以证明根的唯一性例8证由零点定理即方程至少有一个小于1的正实根.此种题型应先证明根的存在性，再证明唯一性.小结:单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.二、曲线的凸性及其判别法1.曲线凹凸的定义2.曲线凹凸的判定3.曲线的拐点及其求法4.利用凹凸性证明不等式1.曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲

4、方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称曲线是下凸(凹)的;(2)若恒有是上凸(凸)的.连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.曲线凹凸的定义则称曲线2.曲线凹凸的判定判别法2判别法1例1解注意到,3、曲线的拐点及其求法1)定义注意拐点处若存在切线，则必在拐点处穿过曲线.2)拐点的求法证求拐点的方法一:例2解拐点拐点例3解注意:求拐点的步骤：Step1求二阶导数等于零和不存在的点Step2判断二阶导数在这些点的左右两侧是否异号Step3写出拐点.4

5、、利用凸性证明不等式证4、利用凸性证明不等式定义:例1解注意到,5、小结曲线的弯曲方向——凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凸性的判定.拐点的求法思考题思考题解答例练习题练习题答案思考题思考题解答不能断定.例但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．练习题练习题答案例3解单调区间为方法2:例3解