函数单调性和凹凸性

《函数单调性和凹凸性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、经济数学7/30/20211《经济数学》第四章§4.3函数的单调性和曲线的凹凸性7/30/20212《经济数学》第四章4.3.1函数的单调性（monotonicityoffunction）现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降”的，好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们引入了函数“单调性”的概念。通过研究某些特定函数（事实上是那些基本

2、初等函数）的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。下面我们利用导数来研究函数的单调性。7/30/20213《经济数学》第四章几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；当时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。7/30/20214《经济数学》第四章定理（单调性的充分条件）定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.7/30/20215《经济数学》第四章例如：函数及在内单调减少，在内单调增加。如下图所示。7/30/20216《经济数学》第四章

3、问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．7/30/20217《经济数学》第四章求单调区间的步骤:7/30/20218《经济数学》第四章解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例1、确定函数的单调区间.列表讨论：7/30/20219《经济数学》第四章7/30/202110《经济数学》第四章例2解单调区间为7/30/202111《经济数学》第四章4.3.2曲线的凹凸性观察抛物线与，它们在区间内都是单调增加的，但弯曲的方这说明在研究函数的图形时，只知道它们的单调性是不够的，曲线的弯曲方向和弯曲方向的

4、转变点对我们研究函数的性态也是十分重要的.这就是下面讨论的凹凸性与拐点。向不一样。7/30/202112《经济数学》第四章函数图象的凹凸分析：图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分.凹弧的切线总是在曲线的下方凸弧的切线总是在曲线的上方从P点改变弯曲方向7/30/202113《经济数学》第四章问题:如何研究曲线的弯曲方向?1、曲线凹凸性的定义定义7/30/202114《经济数学》第四章几何直观如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看出，当时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；当时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。7/30/202115《

5、经济数学》第四章2、曲线凹凸的判定定理1如果在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二（1），则在[a,b]上的图形是凹的；（2），则在[a,b]上的图形是凸的；阶导数，若在（a,b）内7/30/202116《经济数学》第四章注意：点（0,0）是曲线由凸变凹的分界点。解例3、判断曲线的凹凸性。∴曲线在为凹的。当时，当时，∴曲线在为凸的；7/30/202117《经济数学》第四章①、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.②、拐点的求法3、曲线的拐点及其求法定理2如果在内存在二阶导数，则点是拐点的必要条件是方法:设函数在的邻域内二

6、阶可导，且（1）两近旁变号，点即为拐点；（2）两近旁不变号，点不是拐点；7/30/202118《经济数学》第四章例4求曲线的拐点及凹凸区间。解:令得：凹的凸的凹的拐点拐点∴凹区间为xy1-112列表讨论如下：，凸区间为7/30/202119《经济数学》第四章解：例5、求曲线的拐点。当时是不可导点，均不存在，但在内，,曲线在上是凹的；在内，,曲线在上是凸的；点是曲线的拐点。xy1-112-1-27/30/202120《经济数学》第四章下课啦7/30/202121《经济数学》第四章案例[国防预算]布什号（尼米兹级第十艘）造价62亿美元B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元198

7、5年美国的一家报刊报道了国防部长抱怨国会和参议院削减了国防预算．但是他的对手却反驳道，国会只是削减了国防预算增长的变化率．换句话说，若用f(x)表示预算关于时间的函数，那么预算的导数f'(x)>0,预算仍然在增加，只是f"(x)<0即预算的增长变缓了．注：今年美国国防预算总额达7250亿美元,中国防费预算为6011亿元。7/30/202122《经济数学》第四章