函数的单调性与曲线的凹凸性(I)

《函数的单调性与曲线的凹凸性(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点定理1一、函数单调性的判定法证应用拉氏定理,得xyOabx1x2ABxyOabx1x2AB容易发现，如果在上可导，那么在单调区间的分界点处的导数为零，即对可导函数，为了确定函数的单调区间，只要求出在内的导数的零点．一般称导数在区间内部的零点为函数的驻点例1讨论函数的单调性．确定函数的单调区间的一般步骤：第一步求出函数在考察范围(除指定范围外，一般是指函数的定义域)内部的全部驻点和不可导的点（因为函数在经过不可导点时也会改变单调特性，如在经

2、过不可导点时，由单调减少变为单调增加）；第二步用这些驻点和不可导的点将分成若干个子区间第三步确定在各个子区间上的符号，从而利用定理3.4判定函数的单调性．为了清楚，常采用列表方式解题过程例2讨论函数的单调性．解题过程例3证明当时，解题过程(下面内容)函数的极值返回返回返回例4解单调区间为例5证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,图3-8xyOabx2x4Ax0x1x3x5x6x7BC函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题一、函数极值及其求法定义定理1(必要条件)

3、定义注意:函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定理2(第一充分条件)(是极值点情形)证明从略求极值的步骤:(不是极值点情形)例4求函数的极值．例5求函数的极值．例6求函数的极值．(以下内容)函数的最大值与最小值二、最大值最小值问题图3-8xyOabx2x4Ax0x1x3x5x6x7BC步骤:1.求驻点和不可导点;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2设f(x)在(a,b)内的驻点为x1,x2,…xn,则比较f(a),f(x1),…,f(xn),f(b

4、)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值．例3解计算比较得求点,求值,比较例4把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁（图3－17）.问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大.解由力学分析知道：矩形梁的抗弯截面模量为问题由图3－17看出，b与h有下面的关系：因而图3－17解得由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在（0，d）内部取得；现在，在（0，d)内只有一个根当时，w的值最大，这时，实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;

5、(以下内容)曲线的凹凸性与函数图形的描绘二、曲线的凹凸性与拐点定理2注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的概念例2求曲线的凹凸区间与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点定义定理2例7解注意到,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法证拐点的概念方法1:例8解凹的凸的凹的拐点拐点方法2:例9解注意:例10解