函数的单调性与曲线的凹凸性课件.ppt

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（二）一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法四、小结思考题一、曲线凹凸的定义【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方向；如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方【定义】二、曲线凹凸的判定【定理1】【观察】【证】只证(1)如图由拉氏中值定理可得两式相减得即亦即凹的［证完］【例1】【解】【注意到】【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立.这样的点称为拐点.三、曲线的拐点及其求法1、【定义】【注意】拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）.2、拐点的求法【分析】连续曲线上凹凸的分界点(内点)称为曲线

2、的拐点.所以要寻求拐点,只要找出f(x)符号发生变化的分界点即可.如果f(x)在区间I内具有二阶连续导数,则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即此外二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）原点既是角点、又是拐点，不可导可能的拐点【总结】①②【方法】【求拐点的步骤】设函数f(x)在x0的某去心邻域内二阶可导,且x0是可能的拐点,则【例2】【解】拐点拐点【例3】【解】但时总有凹的故此例说明了的点也可能不是拐点.【结论】【例4】【解】【注意】【凹凸性应用】由曲线的凹凸定义证明不等式证明教材P1529(3)【证】令则于是由凹弧定义有即［得证］【例5】四、小结曲线的弯

3、曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定——f(x)的符号.拐点的求法：1.找出可能拐点；2.判别.一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反映曲线的凹凸性凹凸性的应用:证明不等式可能拐点——1.f(x)=0的点；2.f(x)不存在的点.【思考题】【思考题解答】【例】