应用数学教学课件 刘丽瑶 课程设计66.doc

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1、教师课时授课计划教师姓名课程名称应用数学授课时数2累计课时授课日期星期节次授课班级课题M6-6利用定积分计算函数的平均值及物理量的方法知识目标理解函数的平均值的概念理解定积分的元素法在计算垂直平面所受的水压与变力作功的应用。技能目标会求函数的平均值会用定积分的元素法计算垂直平面所受的水压与变力所作的功。态度目标培养学生分析，解决问题的能力教学重点物理量元素的计算教学难点求被积表达式的技巧教学资源三角板参考书《高等数学》——同济四版作业教学过程设计教学环节教学内容教学方法时间课程引入已知弹簧每拉长0.02米要用9.

2、8N的力，求把弹簧拉长0.1米所作的功．提问5’知识讲解1、变力沿直线所作的功2、静水的压力启发式40’课堂实战利用定积分计算函数的平均值及物理量35’课后点评利用定积分计算函数的平均值及物理量5’课后小记4一、课程引入例1已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1米所作的功．二、新课讲解一、变力沿直线所作的功1）弹簧作功问题例1已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1米所作的功．解从物理学知道，在一个常力F的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，F所作的功

3、为xFx0图6-22W=F·s．如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，则不能直接使用上面的公式，这时必须利用定积分的思想解决这个问题，后面的几个例子均是如此．如图6-22所示，我们知道，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=kx．在上式中k为比例系数．根据题意，当x=0.02时，F=9.8，故由F=kx得k=490．这样得到的变力函数为F=490x．下面用元素法求此变力所作的功．取x为积分变量，积分区间为[0，0.1]．在[0，0.1]上任取一小区间[x，x+dx]，

4、与它对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力所作的功，从而得到功元素为dW=490xdx，于是所求的功为（J）．2）抽水作功问题3米5米x+dxxxO图6-23例2一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部抽出需作多少功？解作x轴如图6-23所示．取深度x为积分变量，它的变化区间为[0，5]，在[0，5]上任取一小区间[x，x+dx]，与它对应的一薄层水（圆柱）的底面半径为3，高度为dx4，故这薄层水的重量为9800π×32dx．因这一薄层水抽出贮水桶所作的功近似于克服这一薄层水

5、的重量所作的功，所以功元素为＝，于是所求的功为＝＝(J)．二、静水压力问题从物理学知道，在水深为h处的压强为p=γh，这里γ是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那末，平板一侧所受的压力为P=p·A．如果平板垂直地放置在水中，那末，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算．下面我们举例说明它的计算方法．OA(0,1)B(3,0)y图6-24x▽xx+dx例3某水坝中有一个等腰三角形的闸门，这闸门垂直地竖立在水中，它的底边与水面相齐．已知三角形底边长2米，高3米．问

6、这闸门所受的水压力等于多少？解如图6-24所示，取过三角形底边中点且垂直向下的直线为x轴，与底边重合的水平线为y轴．显然，AB的方程为OA(0,1)B(3,0)y图5-29x▽xx+dx．取x为积分变量，在[0，3]上任取一小区间[x，x+dx]，则相应于[x，x+dx]的窄条的面积dS近似于宽为，长为的小矩形面积．这个小矩形上受到的压力近似于把这个小矩形水平地放在距水平面深度为h=x的位置上一侧所受到的压力．由于水的密度γ=103(kg/m3)，dS=2ydx，即，h=x，因此，这窄条所受水压力的近似值，即压力元

7、素为（N）．于是所求压力为4=(N)．三、课堂实战1．如图，弹簧原长0.3m，每压缩0.01m需力2N，求把弹簧从0.25m压缩到0.2m所作的功．0.30.250.2Ox第1题图2．有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2米，求闸门上所受的水压力．3m2m▽2m第2题图4