新编力学教程 教学课件 作者 穆能伶 2力系的简化与力系的平衡.ppt

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1、2力系的简化与力系的平衡本章内容平面任意力系平衡方程在单杆结构中的应用，平面任意力系平衡方程在多杆结构中的应用，最后还将介绍空间力系平衡方程的应用。2.1力系简化的解析法基础2.2平面任意力系的简化2.3平面任意力系平衡方程在单杆结构中的应用2.4平面任意力系平衡方程在单杆结构中的应用2.5空间任意力系的简化及其平衡方程的应用2力系的简化与力系的平衡第一节力系简化的解析法基础一、力系的合成力多边形法则：力多边形来求平面汇交力系合力的方法，称为力多边形法则。由力的平行四边形法则，采用两两合成的方法，最终可合成为一个合力FR

2、，合力等于力系中各力的矢量和，即FR=F1+F2+…+Fn=ΣFF1FRFR2FR1F2F3FnO二、力在平面直角坐标轴上的投影如图所示，已知力F与平面直角坐标系之轴x、y正向间的夹角为、β。于是，力F在轴x、y上的投影即表示为即力在某一轴上的投影等于力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力与投影轴正向间的夹角为锐角时，其投影为正；力与投影轴正向间的夹角为钝角时，其投影为负。这就表明了力在某一轴上的投影为代数量。若已知力F在平面直角坐标轴上的投影为Fx和Fy，则该力的大小和方向余弦就可以表示为须指出，力F在轴x、y上的

3、投影Fx、Fy是代数量，但力沿轴x、y方向的分力Fx、Fy是矢量。在平面直角坐标系中，尽管投影Fx、Fy和分力Fx、Fy的大小一样，但二者的表示是有区别的，前者为白体表示标量，而后者为黑体表示矢量，勿将二者混淆。另外，还须指出，力F在一非直角坐标系两轴x、y上的投影Fx、Fy，并不等于该力沿此非直角坐标轴x、y分解后的分力Fx、Fy的大小，如图2-4所示力F的分解，就可明显地看出这一点。二、力在空间直角坐标轴上的投影直接投影法：如图所示，已知力F与空间直角坐标系之轴x、y、z正向间的夹角为、β、γ。于是，根据力在某一轴上

4、投影的定义，即得力F在轴x、y、z上的投影为二次投影法：如图所示的力F，已知力F与坐标轴z正向间的夹角为γ。这时，第一步可先将力F沿轴z和平面Oxy分解为Fz和Fxy，分力Fxy的大小其实也就是力F在平面Oxy上的投影。第二步，再将平面Oxy上的分力Fxy投影到轴x、y上，这样就得到力F的三个投影为有了力F的三个投影Fx、Fy、Fz之后，力F的大小和方向余弦就可表示为三、合力投影定理合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。对于作用于刚体上点O的一空间汇交力系，若将力系的分力与合力分别投影到空间直角坐标系

5、之轴x、y、z上，则各分力与合力间的投影关系同样有汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和——合力投影定理。根据各分力与合力之间有投影代数和的关系，即得合力FR的大小和方向余弦为平面汇交力系的合力FR的大小和方向余弦有时为了方便起见，通常将平面汇交力系的合力FR的方向，用FR的作用线和坐标轴Ox之间所夹的锐角θ来表示，也就是给出表明方向角的正切值，即例2-1用解析法求图所示平面汇交力系的合力。解：由式（2-7）计算，得FRx＝ΣFx＝F1cos30°＋F2cos120°＋F3cos135°＋F4co

6、s45°＝（200×0.866－300×0.5－100×0.707＋250×0.707）N＝129.3NFRy＝ΣFy＝F1cos60°＋F2cos30°＋F3cos135°＋F4cos135°＝（200×0.5＋300×0.866－100×0.707－250×0.707）N＝112.3N再由式（2-10）计算，得合力FR的作用点，即为各分力的汇交点，与轴x、y之间的方向角分别为α＝40.99°，β＝49.01°这里，也可以由正切值来得到合力FR与轴x之间的方向角，其意义是相同的。五、合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的

7、合力对平面内任意一点的矩等于该力系的所有分力对同一点的矩的代数和，亦即合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点的矩的关系。由力系等效的概念出发，上式适用于任何有合力存在的力系。思考：当平面汇交力系平衡时，合力为多少？而对任意一点的矩又为多少？例2-2如图所示的圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。已知Fn＝1400N，压力角α＝20°，齿轮节圆（啮合圆）半径r＝60㎜，试计算啮合力Fn对齿轮轴心O的力矩。解：力Fn对轴心O亦即对齿轮平面内点O的矩，可直接由力矩的定义来求，因力臂h＝rcosα，故有MO(Fn)＝Fnrcos

8、α＝1400×60×cos20°＝78.93N·m力Fn对O点的矩也可由合力矩定理来求，即将力Fn分解为圆周力F和径向力Fr（图示），于是得MO(Fn)＝MO(F)＋MO(Fr)因径向力Fr通过矩心O，故MO(Fr)=0。这样，也就有MO(Fn)＝MO(F)=Fnrcosα=1400×60×cos20°=78.93N