信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第6章-z变换《信号与系统》书稿-6-1.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§6-1双边Z变换及其收敛域国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点Z变换及其收敛域的求法收敛域定义与确定方法内容安排6-1-1双边Z变换6-1-4DTFT与z变换的关系6-1-2常用序列的Z变换对6-1-3收敛域7-1-1双边Z变换（6-1-1）（6-1-2）但在实际工作中的许多信号却不满足这个条件，因而它们也就不存在DTFT。例如：一个序列x(n)的离散时间傅立叶变换已知为：为使上式收敛，序列x(n)必须绝对可求和，即：产生背景：6-1-1双边Z变换（7-1-3）（7-1-4）但若采用与连续时

2、间信号同样的处理方法,将x(n)乘以一个指数衰减序列，使满足绝对可求和条件，然后求其DTFT，即：则可定义离散序列x(n)的双边z变换为：令右端记为X(z)6-1-1双边Z变换（7-1-5）简记为：（7-1-6）序列x(n)的双边z变换还可以用复变量z来定义，此时：6-1-1双边Z变换如序列的z变换可写成：当n=2时：因此理论上如果所有给出的序列值都是有限的样值，就可以方便地在序列及其z变换中互相转换。复变量z的值能够在修正的笛卡尔平面上进行几何表示，这个平面就是所谓的z平面（z-plane)。6-1-1双边Z变换收敛域：由于是关于的一个幂级数，所以它就

3、不能保证对所有的z的取值都收敛。为了保证收敛性，就必须引入收敛域（ROC）的概念。在z平面上使存在，亦即幂级数收敛的所有z值的集合称为收敛域（ROC）。定义：注意：两个完全不同的信号序列有可能具有相同的双边z变换，但收敛域不同。6-1-2常用序列的z变换对下表列出了一些常用信号的双边z变换。对于有限长度序列，z变换可以写成z的有限项的多项式形式。6-1-2常用序列的z变换对6-1-2常用序列的z变换对6-1-2常用序列的z变换对6-1-2常用序列的z变换对下面用z变换的定义式求几个简单序列的双边z变换。6-1-2常用序列的z变换对例7-1-3单位样值序列

4、，试用定义式计算z解：的z变换如下：是一个无限长几何级数，所以有显然，当z满足条件：，或时，收敛。变换并确定其收敛域。令，可求出的z变换为收敛域为6-1-2常用序列的z变换对例7-1-4指数序列，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。解：上式是一个无限长几何级数，所以有显然，当z满足条件：，或时，收敛。6-1-2常用序列的z变换对例7-1-5已知一个有界序列，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。解：由z变换的定义式，有可以看出，如果z不等于0或无穷大，则中的每一项都是有界的，因此收敛，即ROC：6-1-3收敛域令复变量，它的z变换为：在的收敛域ROC内，故

5、只要序列满足绝对可求和条件，就是有限的。6-1-3收敛域的收敛域（阴影部分）6-1-3收敛域收敛域是形如的环形域。如果,收敛域(ROC)还包括z=0点；如果，收敛域ROC还包括无穷大。如果是z的有理函数，则收敛域还取决于是单边的还是双边的。的收敛域：a)右边序列的ROC；b)左边序列的ROC；c)双边序列的ROC6-1-3收敛域例7-1-6设，(这种序列称为左边序列)，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。解：的z变换如下：ROC1:0<

6、z

7、<

8、a

9、6-1-3收敛域例6-1-7设(这种序列称为右边序列)，试用定义式计算z变换并确定其收敛域。解：的z变换如

10、下：ROC:，或者ROC2:例6-1-8设(称为双边序列)试用定义式计算z变换并确定其收敛域。解：的z变换如下：收敛域为6-1-3收敛域若，则收敛域ROC3是一个空集，不存在；，则ROC3为

11、a

12、

13、b

14、，且存在于一个环状区域若6-1-3收敛域半径的圆外。如果，右边序列也称之为因果序列。收敛域的性质由于收敛条件均由z的模

15、z

16、所决定，故收敛域总以某个圆为边界。2.如果存在一个序列，它在和时其值为零，则称为，则z=∞不属于收敛域；若，则z=0不属于收敛域3.当n小于某个特定的，即时，序列的值为零，称之为6-1-3收敛域有限长度序列。有限长度序列的z变换

17、的收敛域是整个z平面。右边序列。右边序列的z变换的收敛域位于以最大极点的模为若为半径的圆内。如果，左边序列也称之为非因果序列。4.当n大于某个特定的，即时，序列的值为零，称之为左边序列。左边序列的z变换的收敛域位于以最小极点的模5.若双边序列的z变换的收敛域存在，则它位于最大极点半径和最小极点半径构成的圆环内。6.由于在收敛域内一致收敛，故其ROC内不能包含极点。7.若为有理函数，则其收敛域边界上至少有一个极点。8.收敛域一定是连通的区域，也就是说收敛域不可分割成几片。6-1-3收敛域是右边序列，则其z变换的收敛域是例7-1-9设，试确定其收敛域。解：z

18、变换的收敛域取决于序列的性质，因此，假设序列假设序列是左边序列，则其z变换的收敛