信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第5章-拉普拉斯变换《信号与系统》书稿5-2.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§5-2收敛域及其性质国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点收敛域的定义及其性质收敛域的性质内容安排5-2-1收敛域5-2-2收敛域的性质例如，例5-1-2中指数衰减信号5-2-1收敛域拉普拉斯变换的傅立叶变换。因此，绝对可积，也就是说须满足的绝对可积条件。为收敛域（regionofconvergence,ROC）。的ROC就是，或者等价地是。拉普拉斯变换存在或收敛的必要条件就是这里使拉普拉斯变换存在的的取值范围称因为函数本身可能不满足绝

2、对可积条件，但通过限制的取值范围，就有可能保证某些不存在傅立叶变换（不满足绝对可积条件）的信号，有可能存在拉普拉斯变换。绝对可积，从而求出拉普拉斯变换。5-2-1收敛域注意：因此它的拉普拉斯变换（也就是但若取，则是一个实的升指数信号，是绝对可积的，的傅立叶变换）存在。见图5-2-1所示。例如，函数图5-2-1指数衰减因子对原函数的影响5-2-1收敛域它不满足绝对可积条件，故其傅立叶变换不存在。的实部作为水平轴，虚部作为描述收敛域ROC的一种有效方法是以复变量纵轴作复平面图。可以看出，轴将这个复轴的

3、左边区域轴的右边区域为右半平面，5-2-1收敛域平面分成了两半，我们称为左半平面，而整个复平面称之为s平面。可以说只要沿虚轴对的拉普拉斯变如果函数满足绝对可积条件，则令就可以直接从其拉普拉斯变换中得到（的）傅立叶变换，即由于s平面上对应于虚轴，因此（5-2-1）5-2-1收敛域注意:换求值就可以得到的傅立叶变换。求信号的拉普拉斯变换。例5-2-1因此解：利用欧拉公式，有5-2-1收敛域为使上述3个拉普拉斯变换同时收敛，必须有，因此信号的拉普拉斯变换为或者5-2-1收敛域例5-2-1给出的拉普拉斯变

4、换是关于s的一个有理式，也即为复变量s的两个多项式的比。这种情况在工程应用中很普遍，而且一般具有如下形式（5-2-2）其中和分别是分子多项式和分母多项式。在代数学中已知，除去一个常数因子外，有理式的分子、分母多项式可以分解为包含其根的因式的乘积，即（5-2-3）5-2-1收敛域在s平面，一般用符号“o”标记零点的位置，用符号“×”标记极点的位置，例如，例5-2-1中的零点是，极点为s平面零点和极点的位置唯一地描述了。图如图5-2-2所示。除常数因子之外，其为的极点。的零点；是分母多项式由于在这些根

5、上有，故称其为式中是分子多项式的根，的根，由于在这些根上有，故称和，标记出的零、极点5-2-1收敛域图5-2-2例5-2-1中的零、极点图。阴影区域是收敛域ROC。然而，如果没有说明ROC，则对应信号的拉普拉斯变换的表达式却不是唯一的，即两个不同信号可能存在相同的拉普拉斯变换，但ROC不同。下面举例说明这一点。5-2-1收敛域对于反因果信号，当时，有。试确定反因果信号的拉普拉斯变换。解：根据拉普拉斯变换的定义，有或者5-2-1收敛域例5-2-2的两个信号和，它们的拉普拉斯或者，即对本例，为保证积分

6、收敛，要求，比较式（5-1-13）和式（5-2-4）可见，完全不同变换的代数表达式是相同的，但是，两个表达式成立的s域却完全不同。如图5-2-3所示。（5-2-4）5-2-1收敛域图5-2-3a)式（5-1-13）的ROC；b)式（5-2-4）的ROC图5-2-3说明，在计算一个函数或者系统的拉普拉斯变换时，我们不但要计算（拉普拉斯变换的）代数表达式，而且还必须给出使该代数表达式成立的复变量s的取值区间，也就是收敛域ROC。要使函数或者系统的拉普拉斯变换为唯一，必须指明它的ROC。5-2-1收敛域

7、说的ROC是整个s平面。解：单位冲激信号的拉普拉斯变换根据定义可设信号试求其拉普拉斯的拉普拉斯变换对任意s值均成立，也就是5-2-1收敛域例5-2-3变换，并讨论收敛域。直接求出为而和的拉普拉斯变换根据例5-1-2可知为收敛的s的取值的集合，故ROC为。它的收敛域ROC是对的3项拉普拉斯变换都必须因此，的拉普拉斯变换为和。5-2-1收敛域例如，例5-2-3的零、极点图如图5-2-4所示，由于ROC不包括虚轴，故没有傅立叶变换（其实中的第3项，拉普拉斯变换就等价于它的傅立叶变换。然而，如果这个拉普拉

8、斯变换的ROC不包括虚轴(即)，式（5-2-1）指出，当（对应）时函数的那么它所对应的傅立叶变换就不收敛。5-2-1收敛域即是升指数函数，没有傅立叶变换）。图5-2-4ROC不包括虚轴5-2-1收敛域虚轴的带状区域。为方便讨论性质，设信号与其拉普拉斯变换5-2-2收敛域的性质构成一个拉普拉斯变换对：性质1：的收敛域ROC在s平面内是一个平行于性质2：有理拉普拉斯变换的ROC内不包含任何极点。是有限区间函数且满足绝对可积条件，（5-2-5）性质3：如果则ROC是全s平面。的拉普拉斯变