信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第5章-拉普拉斯变换《信号与系统》书稿5-10.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§5-10LTI系统的性质和框图描述国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点LTI系统的性质及其框图描述法LTI系统的性质及其框图描述法内容安排5-10-1因果性5-10-2稳定性5-10-3可逆性5-10-4频率响应5-10-5方框图5-10-1因果性单边拉普拉斯变换要求函数在为零，因此系统的单位冲激响应也必须在为零。显然这也正是系统的因果性条件，故单边拉普拉斯变换仅仅适用于因果系统。至于非因果系统，可以运用双边拉普拉斯变换。（5-10-2）前面讨论过的系统BIBO稳定性与系统的传递函数概念有密切的联系。设系统输入信

2、号有拉普拉斯变换对，即而系统单位冲激响应与系统传递函数亦形成一个拉普拉斯变换对，即5-10-2稳定性（5-10-1）5-10-2稳定性其中，是输入信号的极点，则是系统传递函数的极点（为方便计均设为单极点）。系统（零状态）响应的拉普拉斯变换为对上式进行部分分式展开，有（5-10-4）（5-10-5）式中等式右边第一个求和项是与输入信号极点相关的部分，第二个求和项是与传递函数极点相关的部分。求逆变换，得到式中是展开式中关于传递函数极点的响应分量，称为系统的自由（自然）响应，它与系统的输入信号没有关系。则为展开式中关于输入信号极点的响应分量，称为系统的强迫响应。自由响应中每个分量的

3、函数形式，称为系统的模态。5-10-2稳定性（5-10-5）系统的BIBO稳定性要求有界输入产生有界输出，因此，如果输入信号有界，则强迫响应也一定有界，这是因为和输入具有相同的函数形式，即与有相同的极点。但若系统的输出为无界，则系统的自由响应中当且仅当存在至少一个分量是无界的。这种情况只有包含至少一个非负实部极点时，系统的输出才为无界。综上所述可以得出如下关于稳定性的结论：LTI系统是稳定的，当且仅当系统传递函数的全部极点位于s的左半平面，即5-10-2稳定性（5-10-6）注释：根据系统传递函数确定一个系统是否具有BIBO稳定性是有条件的。对于一般的LTI系统，进行稳定性判

4、别必须满足两个条件。第一个条件是，系统传递函数分子的阶数不能大于分母的阶数，也就是说系统传递函数必须是有理真分式。要证明一点，不妨考虑分子阶数比分母阶数大k的一个传递函数，用长除法相除，得到其中是真分式。如果对该系统施加一个有界的单位阶跃信号，则系统响应的拉普拉斯变换为（5-10-8）5-10-2稳定性（5-10-7）5-10-2稳定性对上式求拉普拉斯逆变换，有若假设上式中是系统的有界输出分量，则显然其余项就不是有界的。这就意味着当时有界输入将产生无界的输出，所以时系统不是BIBO稳定的。传递函数必须满足的第二个条件是它的全部极点必须位于s的左半平面。这个条件等价于系统的单位

5、冲激响应是绝对可积的。（5-10-9）5-10-2稳定性满足BIBO稳定性的系统也有可能产生无界的零输入响应。这种情况一般发生在系统传递函数的分子多项式中包含有s的右半平面零点，并且分母多项式在相同位置具有单极点的特例。由式（5-7-18）可以看出，传递函数中可能存在零、极点的对消。如果这种对消发生在s的右半平面（也就是说在s的右半平面的相同位置存在一个极点和至少一个零点），则对消后系统将满足BIBO稳定性。但是，零输入响应的极点全部包含着中，所以零输入响应是无界的。对于一个系统函数为的LTI系统，其对应的逆系统定义为：系统函数为的逆系统与级联后，总的系统函数为1，即或者系统

6、及其逆系统下图所示。5-10-3可逆性（5-10-7）（5-10-8）5-10-3可逆性由于一个因果系统的传递函数可以描述为因此，它的逆系统的传递函数就为因为上式是单边传递函数，故其逆系统也是一个因果系统。（5-10-9）（5-10-10）如果系统传递函数上式所描述的系统是稳定的，那么它的极点必定全部位于s的左半平面。若要求逆系统也保持稳定，则要求逆系统的全部极点也位于s的左半平面。显然，一个LTI系统及其逆系统均稳定的条件是系统传递函数的零、极点都在s的左半平面上。另外，由于系统传递函数的系数就是系统微分方程的系数，故根据上式就可以方便地写出逆系统的微分方程。5-10-3可

7、逆性在4-13-1中曾经给出频率域的系统传递函数的概念，即定义系统输出的傅立叶变换和系统输入的傅立叶变换之比的形式：为n阶LTI系统的传递函数。显然，上式给出的是系统在零初始状态（条件）下由输入信号引起的响应。而在式（5-6-3）中我们又在复频域定义了系统的传递函数，即5-10-4频率响应（5-10-10）（5-10-11）比较两个不同域中的系统传递函数的定义，如果取式（5-10-10）的分母为首一多项式（即）则容易发现两者之间存在关系为了有所区别，这里对不同域的传递函数的标注了下标，因为不加下标，上式