信号与系统 教学课件 作者 张延华 等第5章-拉普拉斯变换《信号与系统》书稿5-5.ppt

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1、ThemeGalleryPowerTemplate§5-5求解含初始条件的微分方程国家“十二五”规划教材——《信号与系统》重点难点微分方程的求解初值条件的利用）的激励连同其导数值一并归入解中，从而避免了有跳跃间断点输入时系统初始状态的跳变问题。换句话说，拉普拉斯变换可以直接用于求解LTI系统的微分方程，不管输入信号是否存在跳跃间断点。与傅里叶变换只能求解系统的零状态响应不同，拉普拉斯变换能够求出系统的零输入响应和零状态相应，因此也就能够给出系统的完全解。单边拉普拉斯变换在LTI系统分析中的重要应用就是求解非零初始条件下系

2、统微分方程的解。由于单边拉普拉斯变换的微分性质中，初始条件作为等效于零负时刻（5-5求解含初始条件的微分方程5-5求解含初始条件的微分方程式（2-10-6）给出了阶LTI常系数微分方程的一般形式，上式的紧凑形式为（5-5-2）（5-5-1）即式中，，且和是与时间无关是系统的输入信号，是系统的输出信号。的实常数。对式（5-5-2）等式两边同取单边拉普拉斯变换，即（5-5-2）则应用拉普拉斯变换的微分性质（式（5-3-16）），上式中输入信号的第k阶微分的拉普拉斯变换为（5-5-3）5-5求解含初始条件的微分方程是的第k阶微

3、分在其中（5-5-4）的值，显然，它是作为的第k阶微分中。如果是因果信号，则该项为零。同理可得输出信号的第k阶微分的拉普拉斯变换为输入的初始条件包括在（5-5-5）5-5求解含初始条件的微分方程形式即得到阶LTI常系数微分方程的拉普拉斯变换的其中（5-5-6）是的第k阶微分在的值，它同样是作为输出的第k阶微分中。将式（5-5-3）的初始条件包括在和式（5-5-5）代入式（5-5-2）中，经整理并写成矩阵矩阵型，即或（5-5-7）（5-5-8）5-5求解含初始条件的微分方程则；如果系统输入，则。其中（5-5-9）式中已经假

4、定输入。另外，如果系统是的初始条件全部为零，。松弛的，即关于系统输出5-5求解含初始条件的微分方程现在，将式（5-5-3）中的初始条件以及输入的影响分开，则有（5-5-10）式中仅仅与输入的拉普拉斯变换有关，是由系统初始条件引起的输出或响应分量，称为自然响应。是系统对输入的响应分量，称为强迫响应。5-5求解含初始条件的微分方程由系统初始条件和输入信号共同作用于系统时产生的响应。当然，要得到时域解，还必须利用拉普拉注意，强迫响应描述的是初始条件为零时系统的输出，而自然响应描述的是输入为零时系统的输出。在时输入信号施加于系统

5、，即可获得系统的完全响应—斯逆变换，即。5-5求解含初始条件的微分方程(：阻尼系数，单位：加速度，为检测块位置。克/秒())为加速度计的品质因数。：等效弹簧的弹性系数，单位：(：检测块质量，单位：克()，图2-6-2所示的微型加速度计（MEMS）模型的式中系数二阶微分方程为（5-5-11）克/秒平方())为加速度计的固有频率；方程中为外部5-5求解含初始条件的微分方程例5-5-1输入为外部加速度。现已知，，试求加速度计的强迫响应和自然响应。系统的初始条件为，（检测块初始位置），（检测块初始速度），解：对MEMS的微分方程

6、等式两边取单边拉普拉斯变换，得到5-5求解含初始条件的微分方程由于代入已知条件，整理后有5-5求解含初始条件的微分方程上式中强迫响应和自然响应分别为和5-5求解含初始条件的微分方程它们的拉普拉斯逆变换分别为和5-5求解含初始条件的微分方程