应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第3章3.3.ppt

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1、导数与微分第3章主讲教师：第3章导数与微分导数概念求导法则高阶导数函数的微分3.3高阶导数高阶导数的概念12高阶导数的运算法则可继续求导，-----二阶导数3.3.1高阶导数的概念若在处可导，把在处的导数的二阶导数或即相应地把叫作函数的一阶导数,类似地二阶导数的导数叫做三阶导数一般地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作或或称为函数记作定义3.11)二阶导数的定义式：2)二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。3)函数具有n阶导数也常说成为n阶可导。处具有n阶导数那么函数4)如函数在点在点的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。注意求高阶导数就是

2、多次连续地求导数，仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.高阶导数求法解求例1求幂函数的n阶导数.，一般地：即【特别】当，即解例2①，则②一般则特别注意的是联想①，求②，求n阶导数。求函数的，一般地有：①求，②，求【特别】解例3求的n阶导数，…一般地有：即用类似方法可得：解例4更一般地：①求②求联想求函数的n阶导数首先将函数写成幂函数形式，即，…，一般地有：解例5①，求，②，求。求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数。更一般地：类似可求出：联想注意熟记下列公式,今后可以利用这些公式间

3、接地求一些函数的高阶导数。(1)(2)(3)(4)(5)，特别：若函数及都在点x处具有n阶导数也在点x处具有n阶导数且(1)(2)则函数3.3.2高阶导数的运算法则利用已知的高阶导数公式,通过求导法则,变量代换等方法,求出n阶导数。间接法求导法:已知，求求下列函数的n阶导数①②解例6设，求两边求导：整理得再求导：解例7已知求在点的值。两边求导：代入得：两边再求导：代入，，，得：①设，求②，求解例8设参数方程，求，解例9求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数：①摆线②如果的导函数在区间Ｉ上连续，则称连续可导，不难理解，连续可导必可导，但是未必二阶可导。注意有界收敛连

4、续可导连续可导二阶可导回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及高阶导数的概念，诸概念之间的关系逐渐增强，可图示为(1)逐阶求导法(2)间接法——利用已知的高阶导数公式高阶导数的求法，特别：内容小结1.已知,求2.求下列函数的n阶导数。解解备用题解习题3.31．求下列函数的二阶导数(1)(1)(2)(3)(4)(5)(6)2．设由方程所确定，求3．设参数方程确定函数，求4．设参数方程确定函数，求5．求下列函数的n阶导数(1)(2)(3)