应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第4章4.3.ppt

《应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第4章4.3.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4章主讲教师：中值定理与导数的应用第4章中值定理与导数应用中值定理洛必达法则函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数图形描绘4.3函数单调性和凹凸性12函数单调性的判定法确定函数单调区间的步骤3曲线的凹凸性及其判别法4确定函数凹凸区间的步骤4.3.1函数单调性的判定法如果函数在那么它的图形是一条沿曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即与导数的符号有着密切的联系。上单调增加（单调减少），轴正向上升（下降）的曲线。。由此可见，函数的单调性设函数连续，在内可导。（1）若时，有，则；（2）若。时，有，则反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面的定理给出了一

2、个用导数的符号来判定函数单调性的方法：在因为函数连续，在内可导。在在上任取两点，,应用拉格朗日中值定理得定理4.5证由于,且时,恒有,故于是，即，表明同理，若时，恒有，故于是，即，表明，证毕。。，注:(1)若除个别点等于零外，在区间为正（负），则仍有（或例如，，，但是(2)该定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论依然成立。上处处）；4.3.2确定函数单调区间的步骤若，则称是函数的一个驻点；驻点和导数不存在的点统称为函数的一阶可疑点。一个函数在其定义域内可能有多个单增区间和单减区间，我们要确定它们关键在于寻找增减区间的分界点。若为函数的增减区间分界点且

3、在两侧存在，则在两侧必然异号，因而或定义4.1不存在.导数等于零的点和导数不存在点划分函数定义域后，就可以使函数在各个部分区间上单调，因此确定函数单调区间的步骤如下：①求函数的定义域④用一阶可疑点把定义域分开后列表判定②求③求一阶可疑点求函数=的单调区间。①定义域为=③令得驻点④把以上信息汇总列表如下：②(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)＋0－0＋例4.13解求函数的单调区间①定义域为②③令得驻点；又时导数不存在④把所求信息汇总列表如下：＋不存在－0＋例4.14解1）用可疑点把定义域分开后，可保证部分区间内保持固定符号，从而可用部分区间内某点导数值符号确

4、定此区间导数符号。的增减区间分界点必为疑点，反之不然。是函数的驻点，但不是函数的增减区间分界点。在各个2）函数的一阶可例如【注】4.3.3曲线凹凸性及其判别法函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。例如，图中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著的不同，左边的曲线是向上凹的曲线弧，右边的曲线是向上凸的曲线弧，它们的凹凸性不同，下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的（或凹弧），记作

5、：；（或凸弧），记作：。定义4.2观察图4.6可以看出,在凹弧上,曲线各点切线斜率随的增加而增加，在凸弧上，曲线各点的切线斜率随的增加而减少，如果在区间内是凹弧时，递增，而当曲线是凸弧时，据此下面的函数凹凸性判别法就不难理解了。存在，则当曲线递减，设函数，在二阶导数，内具有（1）若时，有，则；（2）若时，有，则。定理4.6设在区间I上连续，是I的内点，如果曲线在经过性改变了，则称显然拐点是曲线上凹凸区间的分界点，所以在拐点必然异号，因而在拐点处或不存在。用二阶导数等于零的点和二阶导数不存时，曲线的凹凸为曲线的拐点。左右邻近在点划分函数定义域后，就可确定曲线的凹凸区

6、间和拐点。函数的二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点统称为的二阶可疑点。定义4.3定义4.44.3.4确定函数凹凸区间的步骤①求函数的定义域③求的二阶可疑点②求的二阶可疑点把④用的定义域分开后列表判定求曲线的凹凸区间和拐点①定义域为②③令得④把所求信息汇总列表如下：拐点拐点例4.15解求曲线的凹凸区间和拐点．①定义域为②④把所求信息汇总列表如下：③无解，时不存在，拐点+不存在例4.16解因此称为“议会函数”。在一次美国总统选举后,把当选总统所得公众选举票数的百分比记作，记这个函数有着有趣的性质（称为立方律），的值可用来逼近当选总统所在党获得众议院议席的百分比，例

7、如1939年，民主党候选人富兰克林·罗斯福赢得了公众61％的选票，从而当选总统。在这次选举中，议会函数，即估计民主党例4.17将占众议院议席的79％。在实际选举中，民主党赢得333个议席，共和党赢得89个席位，即民主党占78.9％。求的一阶、二阶导数，分析凹凸性。，如图示f[x_]:=(x^3)/(x^3+(1-x)^3)Plot[f[x],{x,0,1}]解当时，，即在上是凹的。而当时，，即在上是凸的。但是，当时，，为增函数。即在总统选举中得票越多，在众议院获得席位越多，实际也是如此。内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的

8、判别+–拐