应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第3章3.1.ppt

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1、导数与微分第3章主讲教师：第3章导数与微分导数概念求导法则高阶导数函数的微分3.1导数概念导数概念的引入1234导数的定义导数的几何意义单侧导数函数可导与连续的关系5微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的切线斜率在古代就引起了数学家们的兴趣。早在17世纪前期，意大利物理学家伽利略就对自由落体中的瞬时速度进行了研究17世纪后，牛顿在研究天

2、体运动的速度时系统地解决了变速直线运动的瞬时速度问题。导数概念的产生源于求:3.1.1导数概念的引入1．变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，s表示物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s，则s是时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。假设物体在时刻的位置为在时刻的位置于是在到这段时间内,物体走过的路程为平均速度令如果这个极限存在，就定义为物体在时刻的瞬时速度，即2．切线问题17世纪前期，人们就对带有特殊性质的曲线的切线进行了研究古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对螺旋切线的研究。到17世纪德国数学家莱布尼

3、兹在前人的研究基础上系统的研究了曲线切线的斜率问题。如图所示，设点上一定点，为曲线取为曲线上附近的一动点，作割线Ty=f(x)αx0x0xy设其倾角为则割线的斜率为Ty=f(x)αx0x0xy时，当动点将沿曲线趋于定点从而割线也随之变动而趋向于极限位置—直线称此直线为曲线在定点处的切线。割线的极限位置——切线位置播放割线的斜率的极限：则称K为切线的斜率。其中是切线的倾角。于是曲线在处的切线方程为如果自变量增量，则函数增量这时即：切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限.两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极

4、限.类似问题还有:加速度：角速度：线密度：电流强度：速度增量与时间增量之比的极限转角增量与时间增量之比的极限质量增量与长度增量之比的极限电量增量与时间增量之比的极限变化率问题设函数在的邻域内有定义，当自变量x在时,有函数增量如果存在，则称函数在处的导数,记作有增量且并称这个极限值为在处的导数,函数3.1.2导数的定义定义3.11）若处的导数为无穷大在也说函数3）导数定义的几种等价形式。（3.3）（3.4）注意在2）在就是函数处的变化率。处随自变量它反映了函数的变化快慢程度。（3.5）（3.6）（3.4）式中的只要是无穷小即可。设某产品生产

5、个单位的总成本为（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变化率；（单位:元),试求:（3）生产第1000个单位时总成本的变化率（经济数学中称为边际成本）。（1）生产1000单位的总成本和单位平均成本；例1（1）生产1000单位的总成本是（元）单位平均成本是（元/个）。（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变化率是（元/个）。解（3）生产第1000个单位时总成本的变化率是（元/个）为了加深对导数定义的理解，观察下面极限：存在，求已知例2解①已知存在，求②已知存在，求设存在，求原式=联想例3解②设存在，①和分别被称为

6、函数在点的左导数和右导数，即和记作3.1.3单侧导数存在的充分必要条件是和都存在并且相等。讨论在分段点处的可导性。时，当，由左、右导数定义，故函数在点不可导。左导数和右导数统称为单侧导数。例4解定理3.1求下列函数在点的导数①②不可导的情形很多，下列四种情形比较典型，如图所示：计算分段函数在分段点处的左右导数用导数定义。1)若左、右导数存在且相等，则导数存在。2)若左右导数存在但不相等或其中一个不存在，则导数就不存在。注意11/π－1/π1在点x=0不可导(图3.2)在点x=1不可导(图3.3)在点x=0不可导(图3.4)在点x=0不可导

7、(图3.5)若函数在区间内每一点都可导，在内可导。或记作在内可导，且和都存在，则称在上可导。若则称当函数在开区间I内可导,这时，都有一个确定的导数值与之对应，这样就产生了在区间称这个函数为（简称导数）上定义的函数的导函数,区间上的导数导函数其表达式为显然，就是导函数在点处的函数值，即按导数定义求导数举例。求函数为常数）的导数。即求函数的导数。即例5解例6解请验证以下常见函数的导数①②练习：③④练习：一般地，对于幂函数为常数），有求函数的导数。化简得：求下列函数的导数①②③④例7解求函数的导数即类似可得例8解求函数的导数。即特殊地，例9解①

8、②③④由导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率其中a是切线的倾角。即3.1.4导数的几何意义在点处的切线方程为过曲线上的点而与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线。在