应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第4章4.1.ppt

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1、第4章主讲教师：中值定理与导数的应用第4章中值定理与导数应用中值定理洛必达法则函数单调性和凹凸性函数的极值与最值函数图形描绘4.1中值定理12罗尔定理拉格朗日中值定理4.1.1罗尔定理定理4.1满足下列条件:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点设函数证下面证明由于是最大值,所以对,恒有由的存在及极限的保号性可知，因此不妨设即使若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,如果连续光滑曲线的两

2、个端点和等高，则在上必有一点，曲线在点的切线平行于轴。（如图）罗尔定理的几何意义已知函数在区间罗尔定理的条件，求定理结论中的令，解得,取即可。满足验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．是初等函数且在上有定义，例4.1解例4.2解由初等函数连续性可知在上连续，又在内存在，且所以在上满足罗尔定理条件，得取则，显然罗尔定理条件的存在。令，说明满足不求函数的导数，说明有几个实根。因为又故在上均满足罗尔定理条件，因而至少存在,且在可导使得即至少有4个实根。又因为为4次多项式，至多有4个实根，所以恰有4个实根。例4.3解联想设有

3、个实根，问：①有几个实根？②有几个实根？③有几个实根？（1）求证方程恰有三个实根．（2）证明:若，则方程有惟一实根。4.1.2拉格朗日中值定理满足下列条件:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导使得在(a,b)内至少存在一点设函数为找到拉格朗日定理的证明方法，我们不妨先观察该定理的几何意义。定理4.2连接曲线()的两个端点和，则弦AB的斜率等于把拉格朗日定理的结论改写为此式表明，在开区间内至少有一点，使得在点处的切线与弦AB平行，如图4.2所示。而弦AB方程为比较罗尔定理和拉格朗日定理的条件，区别

4、在于是否等于，如果能消除这个差别就可以借助和弦AB在区间的两个端点处的高度相等，罗尔定理证明拉格朗日定理了.注意到我们构造辅助函数则有，而且在上满足罗尔定理条件。分析构造辅助函数拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的则在上连续，在上可导，且由罗尔定理：，使，即所以，证毕。证注意增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.1）从几何意义上看，构造辅助函数是使得有水平切线；被称为拉格朗日公式，式中可写成于是公式可写为等价形式的目的2）【注】3）拉格朗日定理被称为微分中值定理，该定理应用广泛，在微分学中占有重要地位，它的

5、重要性就在于它把导数与函数值的差用等号连接，为用导数研究函数问题提供了一个等量关系。4）在拉格朗日定理中，若，结论相应地变成定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的，这正是罗尔定理的结论，可见拉格朗日中值特殊情形。已知在上满足拉格朗日中值定理条件，则定理结论中的=。因为，令解得取即为所求。例4.4解如果函数在区间内任意一点的导数都等于0，则函数在内是一个常数。推论4.1使得又，则，所以在区间推论4.1常被应用于证明恒等式.，因为在内可导,所以在上连续,在证上可导，由拉格朗日中值定理：【注】由推论可知(常数)令

6、x=0,得又故所证等式在定义域上成立.欲证时只需证在I上例4.5证证明【经验】【自证】①证明对，有②证明对，有如果函数与在区间内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间相差一个常数。，，由推论4.1可知该结论常用来证明两个函数相等。内至多因为推论4.2证【注】内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程

7、习题4.1且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设2.设3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.