应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第3章3.4.ppt

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1、导数与微分第3章主讲教师：第3章导数与微分导数概念求导法则高阶导数函数的微分3.4函数的微分1234微分的定义微分的几何意义函数和、差、积、商的微分法基本初等函数的微分公式引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.3.4.1微分的定义再例如,既容易计算又是较好的近似值这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?问题(微分的实质)定义3.21)为自变量增量的线性函数。2)是比高阶的无穷小。，3)当与是等价无穷小。事实上：4)A是与无关的常数，但与在点的值有关。,yx很小时当dy»DD注意函数在点可微的充分必要条件是函数

2、在点可导且当函数在点可微时其微分是在点必要性：设函数可微由定义知：从而于是当时即在点可导且（可微的条件）定理3.6证充分性：如果在点可导即：存在其中(当)由此有由极限与无穷小的关系即所以在点可微，且可微，在点点导数是定数，而微分是的线性函数。于是函数在点的微分又可记作区别：2)通常把自变量的增量称为自变量的微分，，即记作1)导数与微分的联系：可导注意3)函数在任意点的微分，称为函数的微分，，即记作或从而函数的导数就是函数的微分与自变量的微分因此导数也称为“微商”。之商，求函数在的微分.先求函数在任意点的微分再求函数当，时的微分求函

3、数的微分。因，故解例1解例2而所以如图所示，是曲线上点处的切线，设的倾角为曲线上另一点为N,从图可知，由此可见，函数的微分就是过点的切线的纵坐标的改变量。3.4.2微分的几何意义与之差，的高阶无穷小量.图中线段PN是它是微分公式导数公式3.4.3基本初等函数的微分公式求导法则微分法则（1）(1)（2）（C是常数）(2)（3）(3)（4）（4）3.4.4函数和、差、积、商的微分法则设，求。因，故求函数的微分。求下列函数的微分①②解例3解例4微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.

4、研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★微分内容小结思考题因为一元函数的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.思考题解答习题3.41．设，当时，求与2．求下列函数的微分：（3）（1）（2）（4）（5）（6）（7）