应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第2章2.6.ppt

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1、极限与连续第2章主讲教师：第2章极限与连续数列极限函数极限有极限的函数的性质两个重要极限无穷小与无穷大函数的连续性闭区间上连续函数的性质2.6函数的连续性函数在一点处的连续性1单侧连续2区间连续3函数的间断点及其类型4初等函数的连续性52.6.1函数在一点处的连续性设函数)(xf在)(0xUd内有定义,如果当自变量的改变量xD趋向于零时,对应的函数的改变量yD也趋向于零,即0lim0=D®Dyx或0)]()([lim000=-D+®Dxfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连

2、续点.定义2.10设函数)(xf在)(0xUd内有定义,且)()(lim00xfxfxx=®成立，则称函数)(xf在点0x连续.或称0x是函数)(xf的连续点。定义2.11证明函数处是连续的.在点函数在处的改变量为因为所以函数在点处是连续的。因为按照定义知函数在点处是连续的。例2.38证1证22.6.2单侧连续定义2.12右连续但不左连续,例解2.6.3区间连续在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.定义2.13定义2.14且连续函数的图形是一条连续而不间断的曲

3、线.例如,例2.39证讨论函数在点处的连续性.即点处的左、右极限存在，但不相等，故在点极限不存在。所以函数在点处是不连续的。时，函数有定义，当例2.40解2.6.4函数的间断点及其类型(1).跳跃间断点1.第一类间断点.例解跳跃度:(2).可去间断点例前提解可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.注意2.第二类间断点无穷间断点:的左右极限至少有一个为例2.41解震荡间断点:的左右极限至少有一个不存在且例2.43解2.6.5初等函数的连续性1、四则运算的连续性例如,0.)0)((

4、)()(),()(),()(,)(),(00处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf¹×±定理2.11意义1.极限符号可以与函数符号互换;)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxxj==j=j®®®则有连续在点函数若定理2.12可看成是由复合而成的复合函数，在内连续，存在，由定理知原式例2.44解例2.45解定理2.13严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义

5、域内的区间.定理2.14定理2.15求下列极限例2.46解连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.内容小结习题2.6一、填空题：1、=++®43lim20xxx____________.2、=-+®xxx11lim0____________.3、=®)2cos2ln(lim6xxp____________.4、=-®xxx24tancos22limp____________.5、=+-®tett1l

6、im2____________.练习题答案