应用微积分(上册) 教学课件 作者 刘春凤《应用微积分》第5章5.1.ppt

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1、第5章主讲教师：不定积分第5章不定积分不定积分的概念与性质换元积分分部积分几种特殊函数的积分积分表的使用方法5.1不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念1不定积分的性质2不定积分的几何意义3不定积分基本公式4已知函数在某区间I上有定义，若若存在可导函数F(x),使得对于I内任意一点x满足或例如，在区间有，因此在区间内是的一个原函数。例如，在区间有，因此在区间内是的一个原函数。5.1.1原函数与不定积分的概念定义5.1则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数.(2)若一个函数存在原函数，一共有多少？(3)若原函数不唯一，它们之间有什么联系？(1)一个函数在什么条件下存在

2、原函数？简言之：连续函数一定有原函数.问题原函数存在定理：若函数，那么f(x)在I上存在可导函数，使得定理5.1关于原函数的说明：（1）若，则对于任意数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证明（为任意常数）任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分的定义：定义5.2若在区间I内有的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为，则因为x>0时类似地又当x<0时例1例2解解求求类似地例3解求求不定积分与求导数互为逆运算,即或(2)或(1)被积函数前的非零常数可以移到积分号外面,5.1.2不定积分的性质性质5.1性质5.2即两个函数代数和的不定积分等

3、于各函数不定积分的代数和,即证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质5.3的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.5.1.3不定积分的几何意义已知平面曲线在其上任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的立方的4倍,并通过点(1,6),求该曲线的方程。则由题可知于是又因为,代入上式得所以即为所求。设所求曲线的方程为例4解(k为常数)或或5.1.4不定积分基本公式原式=求积分原式=求积分例5例6解解原式求积分解例7求积分解例8求积分解例9原式=求积分解例10求积分解例11所求曲线方程为解例12原函数与不定积分的定义1不定积分的性质2不定积

4、分的几何意义3基本积分公式4积分恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,内容小结1.求下列不定积分：习题5.12．一曲线通过点(1,2),且在任意点处的切线斜率等于该点横坐标的3倍，求该曲线方程。且满足条件，求此函数。3．已知函数y的一个原函数为