工程力学 教学课件 作者 李章政 编第09章应力状态分析.ppt

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1、工程力学8/6/20211一、应力状态和单元体1.应力状态通过受力物体上一点的任意截面上的应力情况=一点的应力状态2.单元体围绕一点取出正六面体：三对面每对面上3个应力分量：共9个正面纵截面横截面第9章应力状态分析9.1应力状态的概念应力单元8/6/20212考虑到剪应力互等定理，9个应力分量中6个独立应力分量已知的单元体称为原始单元对工程力学所研究的杆件，原始单元必然包含一对横截面，因为横截面上的应力已经有公式可计算Oxyzxyzyxxy根据原始单元上的已知应力分量，就可以计算任意斜截面上的应力分量。单元体及各面上的应力就代表了该点处的应力状态8/6/202

2、133.基本变形应力单元(a)拉伸压缩杆受弯梁上下边缘点(b)受扭圆轴受弯梁中性层(c)梁截面上非中性层、非上下边缘点4.主单元体主平面：剪应力为零的平面主单元：由主平面构成的单元体过一点一定存在三对相互正交的主平面形成主单元体8/6/202145.主应力和主方向（1）主应力主平面上的正应力称为主应力。过一点存在三对相互正交的主平面，由此构成主单元。受力物体上任意一点均有三个主应力。123按代数量的大小排序：1——第一主应力2——第二主应力3——第三主应力（2）主方向主应力的方向称为主方向它也是主平面的法线方向8/6/20215二、应力状态分

3、类1.分类依据根据不为零的主应力个数分类。2.分类结果单向应力状态（单轴应力状态）仅一个主应力不为零者，可能的情况有：1、0、0—单向拉伸；0、0、3—单向压缩。11331238/6/20216二向应力状态（双轴应力状态，平面应力状态）有二个主应力不为零者，可能的情况有1、2、0；双向受拉1、0、3；一拉一压0、2、3；双向受压三向应力状态（三轴应力状态）三个主应力均不为零者单向应力状态称为简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。1238/6/202179.2平面应力状态分析一、斜截面上的应力分量已知条件一个主应力为零：设为

4、前后面正应力和剪应力x——拉为正y——拉为正xy——绕单元体顺时针转者为正图示应力均为正值xyxxyyyx凡与图示指向不一致者为负8/6/202182.斜截面上应力分量xxyxyyABCyxxyABC取脱离体设AB面积dA，则BC面积为dAsin，AC面积dAcos为斜截面与竖向面（x作用面）的夹角，逆时针转为正8/6/20219整理得解得利用三角关系8/6/202110容易得到最后得到应力的第一不变量8/6/202111特殊情况一：单向拉伸或压缩=0的横截面=45斜截面剪应力在该斜截面上最大。铸铁的受

5、压破坏与此有关。8/6/202112特殊情况二：扭转等纯剪切正应力的极值出现在=45的斜面上正应力就是主应力铸铁、粉笔等脆性圆试样扭转破坏就是由于最大拉应力引起的。8/6/202113例9.1图示单元体，试计算=60及=-45斜面上的应力分量。解：已知80120MPa10060-453.4200-32.7-208/6/202114二、极值应力1.极值正应力由斜截面上正应力的公式求驻点说明：剪应力等于零的斜截面上正应力取极值极值正应力就是主应力8/6/202115主平面方位剪应力（切应力）为零的平面为主平面，该面与铅垂面的夹角0，称为主方

6、向。解得：正交二主平面，对应于二个主应力。或8/6/202116主应力大小为设i是与i对应的主方向或x>y时，

7、i

8、<45；x<y时，

9、i

10、>45；x=y且xy>0时，i=-45;xy<0时，i=45。则应力的第一不变量还有一个主应力为零，共三个主应力，依据代数量的大小进行排序可得第一、第二、第三主应力。不难得到8/6/202117其实，平面应力问题的主应力和主方向，就是如下22应力矩阵的特征值和特征矢量设特征值为，则有参见《线性代数》展开行列式方程的两个根可以证明，应力矩阵的特征矢量就是主方向8/6/2021182.极值剪应力极

11、值剪应力平面方位说明极值剪应力平面与主平面相差45°，即极值剪应力所在平面与主平面相交成45角。8/6/202119极值剪应力三种情况最大剪应力极大和极小绝对值相等，仅相差一个正负符号极大值和主应力的关系8/6/202120例9.2求纯剪应力状态的主应力。解：8/6/202121例9.3求图示拉剪应力单元的主应力值和最大剪应力值。解：已知主应力最大剪应力8/6/202122例题9.4计算图示单元体ab面上的应力及主应力数值、主方向。解：80MPa3040ab60°MPaMPa8/6/202123所以MPaMPa因所以-13.2