工程力学 教学课件 作者 李章政 编第16章单自由度系统振动.ppt

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1、工程力学7/25/20211第16章单自由度系统的振动一、无阻尼自由振动力学模型质量-弹簧系统质量弹性杆系统16.1单自由度系统的自由振动kml0x初始平衡位置mk初始平衡位置x初始平衡位置或静平衡位置为x坐标原点7/25/20212微分方程mmFFIGFNFFIGFN(a)(b)加速度ax弹性恢复力惯性力由达朗贝尔原理得到令则有7/25/20213方程解答通解初始条件，t=0时的位置和速度确定常数得振幅初相位振幅和初相位与初始位移和初始速度有关。一旦起振，便按照简谐规律永远振动。7/25/202

2、14振动特性参数圆频率rad/s固有频率Hz（1/s）周期s刚度相同，质量大者频率低（周期长）质量相同，刚度大者频率低（周期短）固有频率和周期都是体系固有的，不随外界条件而变化7/25/20215例16.1图示水塔结构，可简化为单自由度体系，已知m=400000kg，k=3500kN/m，求该结构的自振周期。解：mks7/25/20216例16.2质量为m的物体安放在长度为l的简支梁的重点，已知梁的EI，不计梁的质量，求此系统的圆频率和固有频率。解ml/2l/2mk可简化为“质量-弹簧”系统7/2

3、5/20217二、有阻尼自由振动阻尼类型干摩擦阻尼黏性阻尼：阻尼力与速度成正比结构阻尼力学模型微分方程kmcmFcF初始平衡位置l0x牛顿第二定律7/25/20218令则有运动微分方程设=1的阻尼系数为cr（临界阻尼比），就有临界阻尼比阻尼比>1:过阻尼状态=1:临界阻尼状态<1:欠阻尼状态7/25/20219结构的阻尼取值钢筋混凝土结构：=0.05高度>12层的钢结构：=0.02高度12层的钢结构：=0.035混合高层结构：=0.03轻钢结构：=0.05高耸钢结构（烟囱）等

4、：=0.01罕遇地震作用下进行弹塑性分析时，钢结构的阻尼比可取：=0.057/25/202110有阻尼自由振动解答齐次微分方程欠阻尼（<1）才会引起振动，上式的通解为实际结构0.05，则有可以近似取d7/25/202111待定常数a、b由初始条件确定初始位移：初始速度：解得自由振动方程为7/25/202112其中7/25/202113自由振动曲线和的关系如图所示振幅为时间t的负指数函数，将随t的增大而衰减，最后趋于零而停止振动。瞬态响应！通常不予考虑7/25/202114衰减振动

5、参数振动周期振幅A减幅系数对数减幅系数7/25/202115例16.3某个设备中的减振系统，已知k=18kN/m，m=20kg，c=351.5N.s/m。开始时，系统在平衡位置，以初速度0.127m/s沿x正向运动。求该系统衰减振动周期、对数减幅系数和位移响应。解（1）周期和对数减幅系数7/25/202116s（2）位移响应（初始位移为零）7/25/202117mm7/25/20211816.2单自由度系统的强迫振动一、稳态响应微分方程kmcm初始平衡位置l0x简谐激振力运动微分方程7/25/20

6、2119令则方程成为方程的齐次通解为瞬态响应（衰减振动，一般不考虑）方程的非齐次通解为稳态响应。7/25/202120稳态响应非齐次特解方程形式为代入解得稳态响应的振幅稳态响应的相位差7/25/202121二、受迫振动的特性幅频特性令频率比因为静力偏移7/25/202122定义振幅放大因子（动力放大系数）0.707（1）=0附近（低频段或弹性控制区）激振力频率远小于系统的固有频率时1，受迫振动的振幅近于静力偏移；曲线密集，阻尼影响不大。7/25/2021230.707（2）>>1（高频段或

7、惯性控制区）激振力频率远大于系统的固有频率时0，振体由于惯性几乎来不及振动。曲线密集，阻尼影响也不大。（3）=1附近（共振区）阻尼系数<0.707的各曲线，先升后降，说明存在极大值。激振力频率接近于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大=共振7/25/202124求极值的方法可知，当时，动力系数取极大值：对于无阻尼振动=1时，共振振幅无穷大（放大无穷倍）常将p=称为共振频率7/25/202125相频特性频率比（1）=0附近0，受迫振动与激振力基本上同相位（2）>>1，则

8、，响应与激振力反相（3）当=1时，/2，共振时相位差为90°，且与阻尼无关共振特征之一7/25/202126例16.4在k=10.5kN/m的弹簧上悬挂一个质量为m=46kg的物体。物体上作用一个激振力F=F0sinpt，其中力的幅值F0=40N。系统的c=120N.m/s，试求该系统的共振频率和共振振幅。解（1）共振频率常将p=称为共振频率7/25/202127（2）共振振幅真正的共振频率p=7/25/20212816.3隔振的基本原理一、主动隔振