工程力学第12章-弯曲变形v2.pdf

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1、第12章弯曲变形§1引言本章主要研究：弯曲变形基本方程弯曲变形及其特点计算梁位移的方法挠度与转角简单静不定梁分析梁的刚度条件与设计现代设计制造研究所现代设计制造研究所弯曲变形及其特点挠度与转角挠曲轴转角－挠度变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移挠曲轴是一条连续、光滑曲线－挠曲轴方程转角－横截面的角位移对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,－转角方程挠度与转角的关系因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交（忽略剪

2、力影响）（小变形）研究弯曲变形的目的：进行梁的刚度计算；分析静不定梁；为研究压杆稳定问题提供有关基础（rad）现代设计制造研究所现代设计制造研究所挠曲轴微分方程（纯弯）§2梁变形基本方程（推广到非纯弯）挠曲轴微分方程挠曲轴近似微分方程－挠曲轴微分方程w－弯矩引起的挠度σmax<σp现代设计制造研究所现代设计制造研究所1补充：曲率和挠度的关系补充：纯弯时的验证（纯弯）转角－挠度或现代设计制造研究所现代设计制造研究所挠曲轴近似微分方程小变形时：§3计算梁位移的积分法－挠曲轴近似微分方程挠曲

3、轴微分方程与边界条件积分法求梁位移挠曲轴的绘制例题应用条件：坐标轴w向下时：小变形坐标轴w向上现代设计制造研究所现代设计制造研究所挠曲轴微分方程与边界条件积分法求梁位移qA=?EI=常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件(1),(2)与式(b)，得约束处位移应满足的梁段交接处位移应满足条件－位移边界条件的条件－位移连续条件计算转角利用位移边界条件与连续条件确定积分常数（）现代设计制造研究所现代设计制造研究所2挠曲轴的绘制例题绘制依据例3-1用积分法求梁的

4、最大挠度，EI为常数满足基本方程满足位移边界条件与连续条件解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段绘制方法与步骤画M图由M图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置现代设计制造研究所现代设计制造研究所例3-2建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI为常数2.确定积分常数位移边界条件：位移连续条件：解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：3.最大挠度分析当a>b时发生

5、在AC段（）现代设计制造研究所现代设计制造研究所例3-3绘制挠曲轴的大致形状F=qa§4计算梁位移的叠加法叠加法逐段分析求和法例题F=qa现代设计制造研究所现代设计制造研究所3叠加法补充：内力的叠加原理所有外力已知的条件下，选定坐标系Oxyz，列三个坐标方向方法的力平衡和力矩平衡方程，可求出所有约束力；选定某个横截面S，切开横截面并选择一部分为研究对象，在S上沿轴线分解载荷分别计算位移和垂直轴线建立坐标系O'x'y'z'，列三个坐标方向的力平衡和力矩平衡方程，可以求出所有的内力。截面法平衡方程

6、如下：求位移之和其中A是单位矩阵，x是内力列向量，C1确定了哪些外力作用在我们选定的研究对象上，F1是主动外力列向量，C2确定了哪些约束力外力作用在我们选定的研究对象上，F2是约束力列向量。根据整体平衡可列如下平衡方程：因此当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在和坐标选择、横该截面引起的位移的代数和或矢量和截面位置、研究前提条件：研究对象是刚体或变形非常小对象选择有关现代设计制造研究所现代设计制造研究所补充：内力的叠加原理(举例)补充：内力的叠加原理(举例)所有外力已知的条件

7、下，选定坐标系Oxy，列两个坐标方向以AC中点处的横截面为例，切开该界面并取左边部分为研究的力平衡方程和对原点的力矩平衡方程，可求出所有约束力对象，在横截面上建立坐标系O'x'y'，列两个坐标方向的力平衡和对原点的力矩平衡方程，可求出所有内力：结合上页结果可得：结论：约束力满足叠加原理结论：该横截面的内力满足叠加原理现代设计制造研究所现代设计制造研究所逐段分析求和法理论依据分解梁分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移（小变形,比例极限内）（小变形）上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合求总位

8、移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移叠加法适用条件：小变形，比例极限内时，其余梁段视为刚体现代设计制造研究所现代设计制造研究所4例题例4-2图示组合梁，EI=常数，求wB与θA例4-1图示阶梯形梁，WC=?解：解：()()()()()现代设计制造研究所现代设计制造研究所例4-3求自由端位移d解：§5简单静不定梁静不定度与多余约束简单静不定梁分析方法例题一般情况下挠曲轴与外力作用面不重合现代设计制造研究所