工程力学第19讲 弯曲变形：积分法

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1、单辉祖:工程力学1第12章弯曲变形弯曲变形基本方程计算梁位移的方法简单静不定梁分析梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖:工程力学2§1引言§2梁变形基本方程§3计算梁位移的积分法§4计算梁位移的叠加法§5简单静不定梁§6梁的刚度条件与合理设计单辉祖:工程力学3§1引言弯曲变形及其特点挠度与转角单辉祖:工程力学4弯曲变形及其特点挠曲轴是一条连续、光滑曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴变弯后的梁轴，称为挠曲轴研究弯曲变形的目的，进行梁的刚

2、度计算，分析静不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖:工程力学5挠度与转角转角－挠度挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移－挠曲轴方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）单辉祖:工程力学6§2梁变形基本方程挠曲轴微分方程挠曲轴近似微分方程单辉祖:工程力学7挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）w－弯矩引起的挠度smax

3、挠曲轴微分方程与边界条件积分法求梁位移挠曲轴的绘制例题计算梁变形的方法:积分法、初参数法、虚梁法、图解法、叠加法、差分法、奇异函数法、面积一力矩法、迈克勒法、逐次面积矩法、拉普拉斯变换法、三角级数法、能量法及虚位移法、导线法、剪力面矩法、常数相等法、焦点法、近似计算法、面积向量法、马克劳林级数法、定积分法、位移置换法等等。能量法又细分为几种方法，即卡氏定理、单位载荷法、图形互乘法等等。单辉祖:工程力学11挠曲轴微分方程与边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数积分法求

4、弯曲变形的解题步骤写出弯矩方程先求约束力然后分段建立坐标轴写弯矩方程确定边界条件和连续条件弯矩方程积分两次并确定常数项写出挠度方程和转角方程。按题意指示。单辉祖:工程力学13积分法求梁位移qA=?EI=常数建立挠曲轴近似微分方程并积分利用边界条件确定积分常数由条件(1),(2)与式(b)，得计算转角（）例3-1单辉祖:工程力学14例题例3-2用积分法求梁的最大挠度，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段单辉祖:工程力学153.最大挠度分析（）当a>b时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数发生在AC段单辉祖:工程力学1

5、6例3-3建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：例3-4求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF例3-5求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：

6、CB段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，例3-6已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θAθB由边界条件：得：总结挠度转角横截面的转角横截面法线的转角挠度和转角的关系挠曲线微分近似方程积分常数的确定方法连续边界条件位移边界条件