工程力学11弯曲变形

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1、工程力学第11章弯曲变形中国石油大学（北京）弯曲变形按叠加原理求梁的挠度与转角梁的挠曲线近似微分方程及其积分求梁的挠度与转角的共轭梁法梁的刚度校核梁内的弯曲应变能简单超静定梁的求解方法梁内的弯曲应变能2研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。3概述31.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。与f同向为正，反之为负。转角：当纵轴向下时，横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。当纵轴向上时，横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，逆时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后

2、，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：小变形PxwCqC1f4概述4一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。小变形fxM>0fxM<05梁的挠曲线近似微分方程及其积分5对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD6梁的挠曲线近似微分方程及其积分6讨论：①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广

3、，直接求出较精确；缺点：计算较繁。支点位移条件：连续条件：光滑条件：7梁的挠曲线近似微分方程及其积分7例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数解：PLxf8概述8写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角xfPL9梁的挠曲线近似微分方程及其积分9例2解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xfPLa10梁的挠曲线近似微分方程及其积分10应用位移边界条件求积分常数PLaxf11梁的挠曲线近似微分方程及其积分11写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大

4、转角PLaxf1212一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：13按叠加原理求梁的挠度与转角13例3按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。qqPP=+AAABBBCaa1414qqPP=+AAABBBCaa叠加1515例4结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf1616例5车床主轴简化为等截面外伸梁，求

5、B点转角和C点挠度解：设想沿截面B将外伸梁分为两部分，AB为简支梁，除原有的集中载荷外，在B点作用有剪力和弯矩，如图所示，BC为悬臂梁简支梁B点剪力作用下，没有发生变形，在原来集中载荷作用下，B点转角为：这里假设纵坐标方向向上，也就是挠度向上为正，转角逆时针为正，简支梁在B点弯矩作用下，B点转角为：17简支梁在原来集中力和弯矩共同作用下，B点转角为：由这一转角引起的C点挠度为BC悬臂梁在集中载荷作用下的挠度为：C点实际挠度为：按叠加原理求梁的挠度与转角18一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设

6、计截面尺寸；、设计载荷。19梁的刚度校核19PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例6下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM2020P2BCa=++图1图2图3解：结构变换，查表求简单载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf2121P2BCa=++图

7、1图2图3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf叠加求复杂载荷下的变形2222校核刚度23梁的刚度校核23dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr24梁内的弯曲应变能24例7用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？Paaqxf25梁内的弯曲应变能251、处理方法：变形协调方程、物理方程与