工程力学弯曲变形教学课件ppt

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1、第十二章弯曲变形§12-1引言研究弯曲变形的目的：1.建立梁的刚度条件；2.求解静不定梁；3.利用弯曲变形挠曲轴（线）：梁弯曲变形后的轴线。度量弯曲变形有两个量：挠度和转角一、挠度（w）：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移（mm)。挠曲轴方程：向上的挠度向下的挠度二、转角（）：横截面的角位移，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x轴的夹角（rad)。转角方程：逆转顺转挠曲轴是挠度方程的函数曲线三、挠度与转角的关系在小变形下§12-2挠曲轴近似微分方程纯弯曲：非纯弯曲：（略去剪力对梁变形的影响）由高数知识可知，平面曲线上任一点的曲率为挠曲轴微分方程在小变形下远小于1，挠曲轴方程简

2、化为挠曲轴近似微分方程近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。§12-3积分法求弯曲变形C、D为积分常数，由以下两类条件确定：1.边界条件：梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如：固定端截面铰支座截面弯曲变形对称截面2.光滑连续条件：挠曲轴是一条光滑连续的曲线，任一截面的挠度和转角只有一个确定的值。转角方程挠曲轴方程例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F的作用，试求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。解：(1)选取坐标系如图所示，梁的弯矩方程为⑵挠曲轴近似微分方程转角方程挠曲轴方程在固定端A，转角和挠度均应等于零，即⑶确定积分常数（4)梁的挠曲

3、轴方程和转角方程分别为梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B处⑸确定最大挠度和最大转角例：简支梁AB如图所示（图中a>b），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。解：⑴列弯矩方程，建立如图坐标系AC段（0≤x≤a）CB段（a≤x≤l）⑵积分转角方程挠曲轴方程AC段（0≤x≤a）CB段（a≤x≤l）挠曲轴近似微分方程弯矩方程⑶确定积分常数解得：挠曲轴方程⑷AC段（0≤x≤a）CB段（a≤x≤l）转角方程挠曲轴方程转角方程⑸确定最大挠度所以转角为零的点在AC段§12-4叠加法求弯曲变形积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当

4、只需确定某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下的弯曲变形之叠加。应用前提：（1）线弹性范围内的小变形；（2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。工具：附录D注意：（1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号；（2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。解：查附录D，均布载荷q单独作用时集中载荷F单独作用时截面C的挠度：

5、逐段刚化叠加例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI已知。试求截面C的挠度。解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。1.将BC刚化，分析简支梁AB的变形，将分布载荷q平移到B截面，B截面的转角为C截面相应的挠度为2.将AB刚化，分析悬臂梁BC的变形。C截面相应的挠度为C截面的总挠度为例：悬臂梁在BC段作用集度为q的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端C的挠度和转角。解：§12-5简单静不定梁静不定梁（超静定梁）梁的约束力的个数超过了静力平衡方程数目，即成为静不定梁。多余约束和多余约束力在静不定梁中，凡是多于维持平衡所必须的约束称为多余约束，与其相

6、应的约束力称为多余约束力。多余约束力的数目就是静不定的度数。相当系统将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不定梁相同的梁，称为原静不定梁的相当系统。求解静不定梁的步骤：画出原静不定梁的相当系统列出相当系统的变形协调条件求出多余约束力计算梁的内力、应力和变形等相当系统图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统相当系统的变形协调条件为由叠加法求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形，并可校核其强度和刚度。建立静力平衡方程解得：求出多余约束力后，就可像静定梁一样进行内力、应力和变形等计算。注意：多余约束的选择并不是唯一的，上面讨论的静不定梁，也可用解除固定端对

7、截面转动约束的方法求解，则其变形协调条件为解得：建立静力平衡方程解得：求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件例：悬臂梁承受集中载荷F作用，因其刚度不够，用杆CB加固。试计算梁AB的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与EA，且A=3I/l2。解：将加固梁B处的约束解除，用相应的约束力FR代替变形协调条件解得：加固梁的最大挠度未加固梁的最大挠度一、梁的刚度条件式中和[θ]为规定的许用挠度和转角。§12-6