工程力学 教学课件 作者 顾晓勤第07章 直梁弯曲时的内力和应力第4节 纯弯曲时横截面的正应力.ppt

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1、一、截面的惯性矩如图所示，取截面上任一点K的邻域dA，K点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义：第四节纯弯曲时横截面的正应力惯性矩的计算微元对z轴的惯性矩微元对y轴的惯性矩上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩。微元对z轴的惯性矩微元对y轴的惯性矩工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形心主轴的惯性矩可在表7-1中查到。表7-1简单截面对形心主轴的惯性矩和抗弯截面模量图形形心主轴惯性矩抗弯截面模量，结论截面对任一轴z的惯性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zC轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积。此结论对任一y轴也同样成立。惯性矩的

2、平行移轴公式三、纯弯曲时横截面的正应力1、几何关系二、纯弯曲的概念纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。观察梁的变形：取一对称截面梁，在其表面上画上横向线m-m和n-n以及纵向线ab和cd，在梁的纵向对称面内施加一对等值、反向的力偶，梁处于纯弯曲状态。结论：梁变形后，横向线依然保持直线，且与梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁变形后的轴线垂直，横截面

3、绕自身某轴作了转动。纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴向拉伸或压缩变形。中性层：梁在弯曲变形时，一部分纤维伸长，一部分纤维缩短，必然有一部分纤维既不伸长也不缩短的层。中性轴：中性层与横截面的交线。梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，当正应力不超过材料的比例极限时可应用胡克定律，因此可得cd处的正应力为2、物理关系纵向纤维线应变变化规律结论3、静力平衡关系中性轴必过截面的形心。如图所示，在截面上任取一微面积dA，作用于该微面积上的轴向力为dA。因为截面上所有轴向力的合力为零，则有：截面所有微面积上的力对z轴的合力矩即为作用在该截面上的弯矩：—

4、—截面对z轴的惯性矩；——梁截面的曲率；——抗弯曲刚度。注意此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的，但对于工程中许多剪切弯曲的情况也适用；分析表明，对于梁的长度l远大于其截面高度h的细长梁，该式计算弯曲正应力是相当精确的。工程中对于l>5h的情形，往往采用该式计算剪切弯曲时的正应力。弯曲正应力的一般计算公式例7-7简支梁受均布载荷q作用如图所示，已知q=2kN/m，梁跨度l=3m，截面为矩形，b=80mm，h=100mm。求：（1）C截面上a、b、c三点处的正应力；（2）梁的最大正应力值及其位置。解：求支座反力1）计算C截面的弯矩计算截面对中性轴z的惯性矩

5、计算各点的正应力2）作弯矩图弯矩最大值发生在跨中截面处，其值为：梁的最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处，最大正应力值为：