2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练19含解析.doc

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1、跟踪强化训练(十九)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2017·沈阳质检)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，首项a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.(2)由(1)得bn＝n＋2n，∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23

2、＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.[解]　(1)由题意得，解得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－(n－1)n，所以an＝nan＋1－n(n＋1)－(n－1)an＋(n－1)n，即an＋1－an＝2.又a2－a1＝2，因而数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，从而an＝2n－1.Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.两式相减得－Tn＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1＝－2＋2×(

3、21＋22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1＝－2＋2×－(2n－1)×2n＋1＝－2＋2n＋2－4－(2n－1)×2n＋1＝－6－(2n－3)×2n＋1.所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.3．数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)．(1)求证：{Sn－3n}是等比数列；(2)若{an}为递增数列，求a1的取值范围．[解]　(1)证明：∵an＋1＝Sn＋3n，(n∈N*)∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∵a1≠3.∴＝2，∴数列{Sn－3n}是公比为2，首项为a

4、1－3的等比数列．(2)由(1)得Sn－3n＝(a1－3)×2n－1，∴Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∵{an}为递增数列，∴n≥2时，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴n≥2时，2n－2>0，可得n≥2时，a1>3－12×n－2，又当n＝2时，3－12×n－2有最大值为－9，∴a1>－9，又a2＝a1＋3满足a2>a1，∴a1的取值范围是(－9，＋∞)．4．(2017·昆明模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥

5、2时，an＝2anSn－2S.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．[解]　(1)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，an＝2anSn－2S，∴Sn－Sn－1＝2(Sn－Sn－1)Sn－2S.∴Sn－1－Sn＝2SnSn－1.∴－＝2.∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列，即＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.∴数列{an}的通项公式为an＝(2)设bn＝，则bn＋1＝.

6、由(1)知Sn＝，Sn＋1＝，∴＝＝＝>1.又bn>0，∴数列{bn}是单调递增数列．由(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k，得bn≥k.∴k≤b1＝＝.∴存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k对一切正整数n都成立，且k的取值范围为.