一类对称方程的一般解法探究.doc

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1、一类对称方程的一般解法探究摘要：通过一类特殊的对称方稈的两个根的和的问题，探究出两类不同结构的两个方稈的根的关系的求法.关键字：对称方程解法正文：我们有时会遇到这样的问题：题型A：“已知X】、x2分别为方程2V+2兀二5、2log2(x-1)+2兀=5的实数根，求x1+x2的值”.一般会这样变形：2”=5-2八21og2(x-l)=5-2x,会错误的得到结论究其原因，是受到曾经作过形似的问题：题型B：“已知xi、X2分别为方程2v+x=5.log2x+x=5的实数根，求h+x?的值”的解法的影响所致。木文将给出rfl题型A转化为题型B

2、的一般思维模式.首先讨论题型B：“已知X】、x?分别为方程2”+x=5、log2x+x=5的实数根，求x】+X2的值”的解法.T+x=5、log2x+x=5/•2'=5-x、log2x=5-x令/(x)=T,g(x)=5—x,则/_l(x)=10g2x这时再恰好就是函数fM=2x和g(x)=5-x的图像交点A的横坐标、心恰好就是函数/■'(X)=log2x和g(x)=5-x的图像交点B的横坐标.如图(1)：由于函数/(%)=2V和/-*(x)=log2x的图像关于直线y=x对称，gO)=5-x的图像自身关于直线y=x对称，所以交点A和

3、交点B必关于直线y=x对称，从而育■•线y=兀和g(x)=5-x的交点C(-,-)为点A和点B的中点,因此X]+x2=2x—=5.222其次探究题型A：“已知x】、X2分别为方程2v+2x=5.21og2(x-l)+2x=5的实数根，求x1+x2的值”的解法.如果仿照上面的方法，•/2'+2x=5、2log2(x-1)+2x=5・・・2'=5-2兀、21og2(x-l)=5-2x令f(x)=2s,g(x)=5-2x,则广1兀)工2k)g2(兀一1)，取A(x)=21og2(x-1)这时坷恰好就是函数/(x)=2X和g(_r)=5-2兀

4、的图像交点D的横坐标、吃恰好就是函数由于函数/(x)=2V和/?(x)=2log2(x-1)的图像不关于直线y=x对称，g(x)=5-2x的图像白身也不关于宜线)vx对称，所以交点D和交点E不在关于直线)，=兀对称，从而直线)和g(x)=5-2x的交点F(-,-)不再是点A和点B的屮点，因此舛+兀2^2x-=—.3333那么，如何才能正确的解决此种类型的题呢？答案很简单：转换化归！就是将题型A转化为题型B.题型B的特点是:当斗宀分别是两个方程/(X)=g(x)和广'⑴=g(x)的解，且直线y=g(x)自身关于氏线y二兀对称时，那么习+

5、吃的值就是肓线V=gd)与肓线y二X交点横坐标的2倍。根据以上特点，现在进行转化如下：T2'+2x=5、2log2(x-1)+2%=5/.2V=5—2兀、21og2(x-1)=5-2x.*•2'i=—x>log-,(x—1)=—x33令/=X—1,则方程2’=——f、log?/=3—/的解分别为f[=X]—1,『2=x2—1,3令/(r)=2f,^(x)=--r,则f~'(t)=og2tf完全符合题型B的特点.33因此，f]+=~»即3-1)+(兀2—D=3，故兀]+兀2=_。_2如果将题型B的特点扩展为：当西入分别是两个方程fM=

6、g(x)和广心)=g(x)的解，且曲线y=g(x)自身关于直线y=x对称时,那么丙，兀2将满足什么关系?也就是说将y=gM的图像是直线型改为一般Illi线型的问题如何解决.题型C:已知斗，兀2分别是方程x-10'=2010、方程xlgx=2010的根，则A--x2二()A.2008B.2009C.2010D.2011仿照题型B的思路：・・・厂10”=2010、xlgx=20101MV2010

7、2010/.10v=、lgx=XX令/(x)=10v,g(x)=—,则f-[(x)=gxX这时码恰好就是函数/(x)=10v和列切二兰巴的图像

8、交点G的横坐标、左恰好就是函数由于函数/(x)=10v和厂(x)=lgx的图像关于直线y=兀对称，g(x)=△巴的图像白身也X关于肓线y二x对称，所以交点G(ApyJ和交点H(x2,y2)关于肓线y=x对称，从而)[=勺(或再=$2)，即空也=勺(或石二空巴)，因此石q=2010.故选C.