一类非恰当微分方程的解法.pdf

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1、第34卷湖北师范学院学报(自然科学版)Vo1．34第3期JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience)No．3，2014一类非恰当微分方程的解法蔡钢，罗萍(重庆师范大学数学学院，重庆401331)摘要：讨论一类非恰当微分方程的具体解法，给出了具体的例子，完善了一阶微分方程的解法．关键词：微分方程；积分因子；解法中图分类号：0155文献标识码：A文章编号：1009-2714(2014}03．0109．03doi：10．3969／j．issn．1009—271

2、4．2014．03．025’恰当微分方程是微分方程的一个重要部分，但是很多微分方程都不是恰当微分方程，因此怎样才能将非恰当微分方法转化为恰当微分方程显得尤为重要．积分因子的出现，给我们提供了一种将非恰当微分方法转化为恰当微分方程的途径，然而要求出一个微分方程的积分因子却不是一件容易的事，当积分因子为只含或者Y的函数时，我们可以运用公式很快求出积分因子．若一个方程含有的积分因子是关于和Y二元函数时，则要求出积分因子却是一件困难的事．本文讨论了一类非恰当微分方程，将它适当分组，采取分组求积分因子的方法，求

3、出了这类方程含有和Y的积分因子．定义1¨如果方程P(，Y)+Q(，)dy=0(1)的左端险好是某个二元函数u(x，y)的全微分，肌P(，y)dx"4-Q(，y)=du(，)，)=+d)，则称(1)为恰当微分方程．定理1[21设函数P(，Y)和Q(x，Y)在区域R：<<，y

4、))也是(1)的一个积分因子，其中g(·)是任一可微(非零)函数．．证明因为=(，)，)是方程(1)的积分因子，则=，=，于是鱼(2一迪一迪axayOxOyOx因此收稿日期：2o14—O3—18基金项目：重庆师范大学基金项目资助(14XLBO02)作者简介：蔡钢(1984一)，男，重庆巴南区人，讲师。博士生，主要从事泛函分析研究．·109·=gc+=gc+=gc)+=gc)+‘因为兰dy当Ox：dx当dy，故：．所以根据定理1知(，y)g((，y))也是，dYOx’一。(1)的一个积分因子．证毕!定理

5、3若=(，Y)是方程(1)的一个积分因子，即存在(，Y)使得tzP(x，Y)dx+ixQ(x，y)dy=dq~(x，Y)(2)又设：(，Y)为方程(1)的另外一个积分因子，即存在(，Y)lP(x，Y)dx+lQ(x，Y)dy=dg'(x，Y)(3)则必可表为。=tzg()的形式，其中g(·)是任一可微(非零)函数．证明因为雅克比行列式aa[!]一axay：：。M一Ⅳ：oD[，Y]一aalⅣI。axax所以缈和函数相关．由(2)和(3)知·．11[Mdx+Ndy]Dgt一~z[Mdx+Ndy]一D因可表

6、示为的函数，即存在可微函数g(‘)使得=g()，故=()，证毕!推论1设函数P(x，Y)，Q(x，Y)，，(，Y)，(，Y)都是连续可微的，和：是微分方程(1)的两个积分因子，而且不恒为常数．试证：兰：C是方程(1)的一个通解．22石'／证明由定理3知：()·令g((，)，))=(，)，)，则=(，)，)．而(，y)：c为(1)的一个通解，故：c是方程(1)的通解，证毕!2，，现在我们可以给出分组求积分因子法的一般解法．假设方程(1)的左端可以分成两组，即(P1+Q1dy)+(P2dx+Q2dy)=0

7、其中第一组和第二组各有积分因子和：．从而存在可微函数和：使得P1dx+1Qlay=d1，P2+Q2dy=d2由定理2知，对任意的可微函数。和h：，函数h()是第一组的积分因子，函数：h()是第二组的积分因子．若能适当的选取^和h：使得^。()=h(：)，则=()就是(1)的一个积分因子．下面我们通过具体的例子说明用分组求积分因子法来求微分方程通解的过程例1求解微分方程(Y+4，，)+dy=0．解首先将方程左端分成两组：．(x3ydx+d)+4y~dx=0(4)观察易知第一组有积分因子和通解xy=c，第

8、二组有积分因子和通解：c．我们需要寻找可微函数h。和满足X-3h1(xy)=)，^2()即是h(xy)=x3y～h：()．我们可取h：()=X-5和h，(xy)=(xy)～，从而方程有积分因子=x-Sy～，将它乘在方程(4)两端，得·l10．(xy)d(xy)+4x—dx=0故通解为(y)～一一=C．例2求解微分方程ydx一(2x+2，，+)dy=0．解首先将方程左端分成两组：(ydx—xdy)一2(x+)，2)dy=0(5)观察易知第一组有积分因子y和