非齐次线性微分方程地几种解法

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1、标准文档摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要1实用文案标准文档引言31.阶线性齐次微分方程的一般理论:32.阶线性非齐次微分方程的一般理论:62.1常数变易法72.2待定系数法:92.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法92.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法122.3拉普拉斯变换法13总结15参考文选16致谢17实用文案标准文档引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非

2、齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。1.阶线性齐次微分方程的一般理论:（1）（2）定理1：设方程（2）有个线性无关的解，这个线性无关的解称为方程的基本解组。定理2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过个。定理3：阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。定理4：齐次方程（2）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是在上存在点，使得它们的朗斯基行列式。目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。例：方程的

3、两个解是它的通解为定理5：设是方程（2）的任意个解。是它的朗斯基行列式，则对区间上的任一有（3）上述关系式称为刘维尔实用文案标准文档(Liouvlle)公式。我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。对于二阶齐次线性方程如果已知它的一个非零特解，依刘维尔公式（3），可用积分的方法求出与线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。设是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有或为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得由此可得易见是已知方程的一个解，即所对应的解。此外，由于所以，所求得的解是线性无罐解。

4、从而，可得已知方程的通解实用文案标准文档。（4）其中和是任意常数。例2:方程的一个解是试求其通解。解：容易看出，已知方程有特解根据公式（4）立刻可求得通解实用文案标准文档通解为在这里我们不讨论三阶，四阶，阶变系数线性非齐次微分方程。根据定理3，我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了。2.阶线性非齐次微分方程的一般理论:定理6:阶线性非齐次方程（1）的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。求对应齐次方程的通解的方法我们不能加强讨论。我们加强讨论的是它本身的一个特解。求特解的方法有下面的三种：（1）

5、常数变易法；（2）待定系数法；（3）拉普拉斯法;下面我们介绍一下常数变易法。2.1常数变易法设为方程（2）的基本解组,则方程（2）的通解为：现在设一组函数，使为（1）的一个特解。式中是待定系数。满足以下代数方程组。实用文案标准文档这个方程组的系数行列式是基本解组的朗斯基行列式，所以由以上方程组唯一确定，通过求积分可得求的表达式，这种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易法。,例：求非齐次方程的通解。解：知道对应齐次方程的基本解组，对应齐次方程的通解为设方程的特解为由关系式（5）满足方程组解上述方程组，得,积分实用文案标准文档，通解为常数变易法是求非齐次线性

6、微分方程特解的一般方法。但计算比较麻烦。例：求方程的解。解：知道对应齐次方程基本解组是，对应齐次方程的通解为设方程的特解为由关系式（5），满足方程组解上述方程组，得实用文案标准文档求:比较麻烦。所以下面我们介绍一下待定系数法。其计算较为简便。但是主要使用于非齐次项的某些情形。2.2待定系数法:这里，我们考虑如下几种类型的非齐次项。其中是多项式，是常数，首先求对应齐次微分方程的特征根，求特征根的方法我们不能加强讨论。2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:现在，考虑时，非齐次方程（1）的特解的求法。先从最简单的二阶方程（6）开始。因为经过求任意阶导数

7、再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，自然猜想到（6）有形如（7）的特解，其中为待定常数。将（7）代入（6）得到则（8）这样，当不是特征方程（9）实用文案标准文档的根时，则用（8）所确定的代入（7）便得到（6）的特解。当是（9）的单根时，即，这时（8）无法确定。此时，可设特解为（10）并将它作为形式解代入(6)式，得因是当特征根，故可解出这时（6）便有形如（10）的特解，其中由（11）确定。如果是（9）的重根，则，这时（10）的形式已不可用。此时，可设特解为将它作为形式解，代入得到由于是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到综上所述，可以得到

8、如下结论：设是次实或复系数的多项式。（1）当不是特征根时，（10有