二阶非齐次线性的微分方程地解法

《二阶非齐次线性的微分方程地解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、实用标准文案目录待定系数法常数变异法幂级数法特征根法升阶法降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程待定系数法解决常系数齐次线性微分方程特征方程(1)特征根是单根的情形设是特征方程的的个彼此不相等的根，则相应的方程有如下个解：如果均为实数，则是方程的个线性无关的实值解，而方程的通解可表示为如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设是一特征根，则也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程有两个复值解精彩文档实用标准文案它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，我们可求得方程的两个

2、实值解（2）特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，对应于方程的个线性无关的解。若这个重零根设特征根为其重数为。方程的解为对于特征方程有复重根的情况，譬如假设是重特征根，则也是重特征根，可以得到方程的个实值解例1求方程的通解。解特征方程的根为有两个实根，均是单根，故方程的通解为这里是任意常数。例2求解方程的通解。解特征方程的根为有两个复根，均是单根，故方程的通解为精彩文档实用标准文案这里是任意常数。某些变系数线性齐次微分方程的解法（一）化为常系数1.在自变量变换下，可化为常系数的方程一类典型的方程是欧拉方程我们想找一个变换，使方程的线性及齐次性保持不变

3、，且把变系数化为常系数。根据方程本身的特点，我们选取自变量的变换，并取，即变换就可以达到上述目的（这里设，当时，取，以后为确定起见，认为）。事实上，因为代入方程，则原方程变为方程常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换，代回原来的变量，就得到原方程的通解。例求方程的通解精彩文档实用标准文案解此方程为欧拉方程，令，则由知，原方程化为其特征方程为特征根为，故方程的通解为换回原自变量，则原方程的通解为1.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程现在考虑二阶变异系数线性方程的系数函数满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换化为常系数方程。这里

4、是待定函数。为此，把代入方程，可得到欲使为常系数线性齐次方程，必须选取使得及的系数均为常数。特别地，令的系数为零，即可求得再代入，整理之，得到精彩文档实用标准文案由此可见，方程可经线性齐次变换化为关于的不含一阶导数项的线性齐次方程，且当的系数为常数时，方程为常系数方程。因方程在形如的变换下，函数的值不会改变，故称为方程的不变式。因此，当不变式为常数时，方程可经变换化为常系数线性齐次方程。例求方程的通解解这里，因故令就可把原方程化为常系数方程可求得其通解为代回原变量，则得原来方程的通解为精彩文档实用标准文案（二）降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则

5、是降阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。已知的一个特解，试求该方程的通解解作变换，则原方程可化为一阶线性微分方程求解，得所以原方程的通解为法二设是方程的任一解，则有刘维尔公式得其中常数，亦即以积分因子乘上式两端，就可推出积分上式可得到精彩文档实用标准文案例求方程的通解解由观察知方程有一特解，令则，代入方程，得再令，得一阶线性齐次方程从而可得取便得原方程的另一解显然，解线性无关，故方程的通解为幂级数法考虑二阶线性微分方程及初值及的情况可设一般性，可设，否则，我们引进新变量

6、精彩文档实用标准文案，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于的就是了.因此总认为.定理若方程中的系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为,则方程有形如的特解，也以为级数的收敛区间.定理若方程中的系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为,则方程有形如的特解，也以为级数的收敛区间.定理若方程中的系数和具有这样的性质，即和都能展成的幂级数，且收敛区间为,若，则方程有形如的特解，是一个待定的常数.级数也以为级数的收敛区间.例求方程的满足初值条件及的解解设精彩文档实用标准文案为方程的解.利用初值条件，可以得到因而将的表达式代入原方程，合并的同次幂的项，并令各项系数等于

7、零，得到因而最后得对一切正整数成立.将的值代回就得到、这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程精彩文档实用标准文案解因为，所以在的邻域内有形如的幂级数解.将代入原方程，得比较的同次幂的系数，得解得所以，原方程的通解为即方程组的消元法在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例求解线性微分方程组解从第一个方程可得精彩文档实用标准文案把它代入第二个方程，就得到关于的二阶方程式不难求出它的一个基本解组为把和分别代入式，得出的两个相应的解为由此得到原来微分方程组的通解为其中和为

8、任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程类型一精彩文档实用标准文案的特解，